题目

如图所示，一无限长直导线通有电流I=10 A，在一处折成夹角90°的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r=0.1 cm的P点处的磁感强度.(90°)

如图所示，一无限长直导线通有电流I=10 A，在一处折成夹角 $90^{\circ}$ 的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r=0.1 cm的P点处的磁感强度.( $\mu_0=4\pi\times10^{^{-7}}T\cdot m/A$ )

题目解答

答案

根据毕奥萨伐尔定律， $dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\sin\theta}{R^2}dl$ ，有 $\sin\theta=\frac{r}{R}$ ， $\cos\theta=\frac{l}{R}$ ，得到 $dB=\frac{\mu_0I}{4\pi r}\left(-\sin\theta\right)d\theta$ ，我们取无限远处为起点，同侧角度就从0变化到 $\frac{3\pi}{4}$ ，总的磁感应强度就为 $B=2\int_{ }^{ }dB=2\int_0^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\mu_0I}{4\pi r}\left(-\sin\theta\right)d\theta$ ，解得 $B=-\frac{\sqrt{2}\mu_0I}{2\pi r}$ ，负号舍去代入数据得到 $B=2\sqrt{2}\times10^{-3}T$ ，所以P点处的磁感强度大小为 $B=2\sqrt{2}\times10^{-3}T$ ，根据安培定律判断方向为垂直纸面向外。

解析

步骤 1：确定磁感应强度的计算公式
根据毕奥萨伐尔定律，无限长直导线在空间某点产生的磁感应强度$B$的大小为$B=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}$，其中${\mu}_{0}$是真空磁导率，$I$是导线中的电流，$r$是该点到导线的距离。

步骤 2：计算P点处的磁感应强度
由于P点位于角平分线上，且与导线的垂直距离均为$r=0.1 cm=0.001 m$，因此，P点处的磁感应强度大小为$B=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi r}$。将${\mu}_{0}=4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A$，$I=10 A$，$r=0.001 m$代入公式，得到$B=\dfrac{4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A \times 10 A}{2\pi \times 0.001 m}$。

步骤 3：计算结果
计算得到$B=2\times {10}^{-3}T$。由于P点位于角平分线上，根据安培定律，P点处的磁感应强度方向垂直纸面向外。