已知 x→0时 x→0 与x→0是等价无穷小求 a

考查要点：本题主要考查等价无穷小的定义及常见等价无穷小的替换方法。

解题核心思路：
当两个无穷小量 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 满足 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 时，称它们是等价无穷小。利用泰勒展开或等价无穷小替换公式，将原式中的指数函数和三角函数展开，代入等价关系即可求解参数 $a$。

破题关键点：

1. 替换规则：
   • $e^{t} - 1 \sim t$（当 $t \to 0$ 时）
   • $1 - \cos kx \sim \frac{(kx)^2}{2}$（当 $x \to 0$ 时）
2. 建立方程：通过替换后的表达式，令比值极限为1，解方程求 $a$。

根据题意，当 $x \to 0$ 时，$e^{a x^2} - 1$ 与 $1 - \cos 2x$ 是等价无穷小，因此有：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{a x^2} - 1}{1 - \cos 2x} = 1$

步骤1：替换等价无穷小

• 分子部分：$e^{a x^2} - 1 \sim a x^2$（当 $x \to 0$ 时，$a x^2 \to 0$）
• 分母部分：$1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$

步骤2：代入替换后的表达式
将替换结果代入极限式：
$\lim_{x \to 0} \frac{a x^2}{2x^2} = \frac{a}{2}$

步骤3：解方程求 $a$
根据等价无穷小的定义，极限值为1：
$$
\frac{a}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 2

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