设函数f(x)连续，给出下列四个条件(1)lim_(xto0)(|f(x)|-f(0))/(x)存在；(2)lim_(xto0)(f(x)-|f(0)|)/(x)存在；(3)lim_(xto0)(|f(x)|)/(x)存在；(4)lim_(xto0)(|f(x)|-|f(0)|)/(x)存在；其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是 (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.

本题考查函数在某点可导的定义及极限存在的相关知识。解题的关键在于根据函数$f(x)$在$x = 0$处可导的定义$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，对每个条件逐一分析判断是否能推出$f(x)$在$x = 0$处可导。

条件(1)

已知$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)| - f(0)}{x}$存在。
因为函数$f(x)$连续，则$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)$。
当$f(0)>0$时，在$x = 0$的某邻域内$f(x)>0$，那么$\vert f(x)\vert=f(x)$，此时$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)| - f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{x}$，根据函数可导的定义可知$f(x)$在$x = 0$处可导。
当$f(0)=0$时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)| - f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}$存在。
因为$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{|f(x)|}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}$（$x\to0^+$时$\vert f(x)\vert=f(x)$），$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{|f(x)|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-f(x)}{x}$（$x\to0^-$时$\vert f(x)\vert=-f(x)$），且$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}$存在，则$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-f(x)}{x}$，即$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}=0$，所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0$，$f(x)$在$x = 0$处可导。
当$f(0)<0$时，在$x = 0$的某邻域内$f(x)<0$，那么$\vert f(x)\vert=-f(x)$，此时$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)| - f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-f(x) - f(0)}{x}$，根据函数可导的定义可知$f(x)$在$x = 0$处可导。
所以条件(1)能推出$f(x)$在$x = 0$处可导。

条件(2)

$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - |f(0)|}{x}$存在。
令$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq0\\ -1, & x<0\end{cases}$，$f(0)=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - |f(0)|}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - 1}{x}$。
$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x) - 1}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1 - 1}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{f(x) - 1}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-1 - 1}{x}=\infty$，极限不存在，所以该函数不满足此条件。
再令$f(x)=0$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - |f(0)|}{x}=0$存在，但$f(x)$是常函数，可导。
然而，仅由$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - |f(0)|}{x}$存在不能保证$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$存在，例如$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq0\\ 0, & x<0\end{cases}$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - |f(0)|}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - 1}{x}$，$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x) - 1}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{f(x) - 1}{x}=-\infty$，极限不存在，所以条件(2)不能推出$f(x)$在$x = 0$处可导。

条件(3)

$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}$存在。
令$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq0\\ -1, & x<0\end{cases}$，$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{|f(x)|}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{|f(x)|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty$，极限不存在，所以该函数不满足此条件。
再令$f(x)=0$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}=0$存在，但仅$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}$存在不能推出$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$存在，例如$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq0\\ -1, & x<0\end{cases}$，$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{|f(x)|}{x}=+\infty$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{|f(x)|}{x}=-\infty$，极限不存在，所以条件(3)不能推出$f(x)$在$x = 0$处可导。

条件(4)

$\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}$存在。
令$f(x)=\begin{cases}1, & x\geq0\\ -1, & x<0\end{cases}$，$f(0)=1$，$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1 - 1}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1 - 1}{x}=0$，极限存在，但$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1 - 1}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-1 - 1}{x}=\infty$，极限不存在，所以条件(4)不能推出$f(x)$在$x = 0$处可导。

综上，只有条件(1)能得到$f(x)$在$x = 0$处可导，满足条件的个数是$1$个。