计算下列行列式0 a b 0-|||-a 0 0 b-|||-b 0 0 a-|||-0 b a 0

考查要点：本题主要考查四阶行列式的展开计算，重点在于合理选择展开行或列以简化计算，并正确应用余因子展开法。

解题核心思路：

1. 观察矩阵结构，优先选择含零元素较多的行或列展开，减少计算量。
2. 余因子展开法：对选定的行或列展开，计算对应的余子式行列式。
3. 合并同类项，化简最终结果。

破题关键点：

• 第一行含两个零元素，展开后只需计算两个非零元素对应的余子式。
• 余子式行列式的计算需注意符号和展开步骤，避免符号错误。

行列式展开

原行列式为：
$\begin{vmatrix}0 & a & b & 0 \\a & 0 & 0 & b \\b & 0 & 0 & a \\0 & b & a & 0\end{vmatrix}$

按第一行展开：
第一行元素为 $0, a, b, 0$，展开式为：
$0 \cdot M_{11} + (-1)^{1+2} a \cdot M_{12} + (-1)^{1+3} b \cdot M_{13} + 0 \cdot M_{14}$

非零项计算：

1. 第二项（$a$ 对应的余子式 $M_{12}$）：
   去掉第一行和第二列，子矩阵为：
   $\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{vmatrix}$
   按第一行展开：
   $a \cdot \begin{vmatrix}0 & a \\ b & 0\end{vmatrix} - 0 + b \cdot \begin{vmatrix}b & 0 \\ 0 & b\end{vmatrix} = a(-ab) + b(b^2) = -a^2b + b^3$
   因此，第二项为：
   $(-1)^{1+2} a \cdot (-a^2b + b^3) = -a(b^3 - a^2b)$

2. 第三项（$b$ 对应的余子式 $M_{13}$）：
   去掉第一行和第三列，子矩阵为：
   $\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{vmatrix}$
   按第一行展开：
   $a \cdot \begin{vmatrix}0 & a \\ b & 0\end{vmatrix} - 0 + b \cdot \begin{vmatrix}b & 0 \\ 0 & b\end{vmatrix} = a(-ab) + b(b^2) = -a^2b + b^3$
   因此，第三项为：
   $(-1)^{1+3} b \cdot (-a^2b + b^3) = b(b^3 - a^2b)$

合并结果：
$\begin{aligned}& -a(b^3 - a^2b) + b(b^3 - a^2b) \\= & -ab^3 + a^3b + b^4 - a^2b^2 \\= & a^4 + b^4 - 2a^2b^2\end{aligned}$