题目
求下列不定积分:-|||-19. int dfrac (dx)(1+sqrt [3]{x+1)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $u=\sqrt [3]{x+1}$，即 $x=u^3-1$，则 $dx=3u^2du$。
步骤 2：代入
将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac {3u^2}{1+u}du$。
步骤 3：分部积分
将 $\dfrac {3u^2}{1+u}$ 分解为 $3u-3+\dfrac {3}{1+u}$，则原积分变为 $\int (3u-3+\dfrac {3}{1+u})du$。
步骤 4：积分
对每一项分别积分，得到 $\dfrac {3}{2}u^2-3u+3\ln |1+u|+C$。
步骤 5：回代
将 $u=\sqrt [3]{x+1}$ 代回，得到 $\dfrac {3}{2}\sqrt [3]{(x+1)^2}-3\sqrt [3]{x+1}+3\ln |1+\sqrt [3]{x+1}|+C$。
令 $u=\sqrt [3]{x+1}$，即 $x=u^3-1$，则 $dx=3u^2du$。
步骤 2：代入
将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac {3u^2}{1+u}du$。
步骤 3：分部积分
将 $\dfrac {3u^2}{1+u}$ 分解为 $3u-3+\dfrac {3}{1+u}$，则原积分变为 $\int (3u-3+\dfrac {3}{1+u})du$。
步骤 4：积分
对每一项分别积分，得到 $\dfrac {3}{2}u^2-3u+3\ln |1+u|+C$。
步骤 5：回代
将 $u=\sqrt [3]{x+1}$ 代回，得到 $\dfrac {3}{2}\sqrt [3]{(x+1)^2}-3\sqrt [3]{x+1}+3\ln |1+\sqrt [3]{x+1}|+C$。