题目
3.(单选题,0.5分)卷积[ sin(t)u(t)]*u(t)的值为:A.1-cos(t)B.[1-cos(t)]u(t)C.sin(t)u(t)D.u(t)我的答案:B本题得分：0.5分正确答案B
3.(单选题,0.5分)
卷积$[ \sin(t)u(t)]*u(t)$的值为:
A.1-cos(t)
B.[1-cos(t)]u(t)
C.sin(t)u(t)
D.u(t)
我的答案:
B
本题得分：0.5分
正确答案
B
题目解答
答案
问题解析
题目要求求解卷积 $[ \sin(t)u(t)] * u(t)$ 的值，其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数。
卷积定义
卷积的定义为：
$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$
在这个问题中，$f(t) = \sin(t)u(t)$，$g(t) = u(t)$。
卷积计算
根据卷积的定义，我们有：
$[\sin(t)u(t)] * u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin(\tau) u(\tau) u(t - \tau) \, d\tau$
由于 $u(t)$ 是单位阶跃函数，当 $t < 0$ 时，$u(t) = 0$；当 $t \geq 0$ 时，$u(t) = 1$。因此，积分的范围可以简化为：
$[\sin(t)u(t)] * u(t) = \int_{0}^{t} \sin(\tau) \, d\tau$
积分计算
接下来，我们计算积分：
$\int_{0}^{t} \sin(\tau) \, d\tau = -\cos(\tau) \Big|_{0}^{t} = -\cos(t) + \cos(0) = 1 - \cos(t)$
结果
因此，卷积的结果为：
$[\sin(t)u(t)] * u(t) = (1 - \cos(t)) u(t)$
答案
正确答案是 B. $[1 - \cos(t)]u(t)$。
你的答案
你的答案是 B，这是正确的。
解析
本题考查卷积的计算，解题思路是先根据卷积的定义写出表达式，再结合单位阶跃函数的性质确定积分区间，最后计算定积分得出结果。
- 根据卷积定义写出表达式：
卷积的定义为$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$，在本题中$f(t) = \sin(t)u(t)$，$g(t) = u(t)$，所以$[\sin(t)u(t)] * u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin(\tau) u(\tau) u(t - \tau) \, d\tau$。 - 结合单位阶跃函数性质确定积分区间：
单位阶跃函数$u(t)$的性质为：当$t < 0$时，$u(t) = 0$；当$t \geq 0$时，$u(t) = 1$。
要使$u(\tau)u(t - \tau)=1$，则需$\begin{cases}\tau\geq0\\t - \tau\geq0\end{cases}$，即$0\leq\tau\leq t$。
所以$[\sin(t)u(t)] * u(t) = \int_{0}^{t} \sin(\tau) \, d\tau$。 - 计算定积分：
根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x+C$，可得$\int_{0}^{t} \sin(\tau) \, d\tau = -\cos(\tau) \Big|_{0}^{t}$。
根据牛顿 - 莱布尼茨公式$F(x)\big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，则$-\cos(\tau) \Big|_{0}^{t}=-\cos(t) - (-\cos(0))=1 - \cos(t)$。 - 得出最终结果：
因为当$t<0$时，积分结果为$0$，当$t\geq0$时，积分结果为$1 - \cos(t)$，所以$[\sin(t)u(t)] * u(t) = (1 - \cos(t)) u(t)$。