设L是平面上有向曲线，则下列曲线积分与路径无关的是()。A. int_(L) 3yx^2 dx - x^3 dyB. int_(L) -3yx^2 dx + x^3 dyC. int_(L) 3yx^2 dx + x^3 dyD. int_(L) x^3 dx + 3yx^2 dy

本题考查曲线积分与路径无关的判定，解题思路是根据曲线积分与路径无关的充要条件来逐一分析各个选项。

对于平面上的有向曲线$L$，若曲线积分$\int_{L}Pdx + Qdy$与路径无关，则需满足$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，其中$P$和$Q$是关于$x$和$y$的函数，且在单连通区域内具有一阶连续偏导数。

选项A

对于$\int_{L} 3yx^2 dx - x^3 dy$，这里$P = 3yx^2$，$Q = -x^3$。

• 计算$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  对$P = 3yx^2$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(cy)^\prime = c$（$c$为常数），可得$\frac{\partial P}{\partial y}=3x^2$。
• 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  对$Q = -x^3$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial Q}{\partial x}=-3x^2$。
  由于$\frac{\partial P}{\partial y}=3x^2\neq -3x^2=\frac{\partial Q}{\partial x}$，所以该曲线积分与路径有关。

选项B

对于$\int_{L} -3yx^2 dx + x^3 dy$，这里$P = -3yx^2$，$Q = x^3$。

• 计算$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  对$P = -3yx^2$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得$\frac{\partial P}{\partial y}=-3x^2$。
• 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  对$Q = x^3$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2$。
  由于$\frac{\partial P}{\partial y}=-3x^2\neq 3x^2=\frac{\partial Q}{\partial x}$，所以该曲线积分与路径有关。

选项C

对于$\int_{L} 3yx^2 dx + x^3 dy$，这里$P = 3yx^2$，$Q = x^3$。

• 计算$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  对$P = 3yx^2$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得$\frac{\partial P}{\partial y}=3x^2$。
• 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  对$Q = x^3$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2$。
  由于$\frac{\partial P}{\partial y}=3x^2=\frac{\partial Q}{\partial x}$，所以该曲线积分与路径无关。

选项D

对于$\int_{L} x^3 dx + 3yx^2 dy$，这里$P = x^3$，$Q = 3yx^2$。

• 计算$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  对$P = x^3$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得$\frac{\partial P}{\partial y}=0$。
• 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  对$Q = 3yx^2$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(cx^n)^\prime = cnx^{n - 1}$（$c$为常数），可得$\frac{\partial Q}{\partial x}=6xy$。
  由于$\frac{\partial P}{\partial y}=0\neq 6xy=\frac{\partial Q}{\partial x}$，所以该曲线积分与路径有关。