微分方程 y'' - 2y' - 3y = (2x + 1)e^-x 的特解形式是（ ）。A. y = (Ax + B)e^-xB. y = x^2 e^-xC. y = x^2 (Ax + B)e^-xD. y = x (Ax + B)e^-x

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定方法，特别是当非齐次项与齐次解重复时的处理方式。

解题核心思路：

1. 求解齐次方程的特征根，确定齐次解的形式；
2. 分析非齐次项的结构，判断是否需要调整特解形式；
3. 根据重复情况调整特解，若非齐次项中的指数项与齐次解重复，则需乘以$x$的幂次。

破题关键点：

• 特征根的判断：通过特征方程确定齐次解中的指数项；
• 重复项的处理：当非齐次项中的指数项与齐次解中的项相同，需提高幂次（乘以$x^k$，$k$为特征根重数）。

第一步：求齐次方程的通解

齐次方程为：
$y'' - 2y' - 3y = 0$
特征方程：
$r^2 - 2r - 3 = 0$
解得特征根：
$r = 3, \, -1$
因此，齐次通解为：
$y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$

第二步：分析非齐次项

非齐次项为：
$(2x + 1)e^{-x}$
其中，$e^{-x}$是齐次解的一部分（对应特征根$r = -1$，为单根），因此特解形式需乘以$x^1$。

第三步：确定特解形式

原非齐次项为一次多项式乘以$e^{-x}$，调整后特解形式为：
$y_p = x \cdot (Ax + B)e^{-x}$
即：
$y_p = x(Ax + B)e^{-x}$

第四步：匹配选项

选项中符合此形式的是D。