题目
3．函数(x)=2x+dfrac (8)(x-1)(xgt 1)-|||-__的最小值为( )A．8 B．6 C．4 D．10
3．函数
的最小值为( )
的最小值为( )A．8 B．6 C．4 D．10
题目解答
答案
D
【解析】
【分析】
由
然后利用基本不等式可求得答案.
【详解】
因为
，所以
，
当且仅当
即
等号成立，
所以函数的最小值为10，
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题.
解析
步骤 1：调整函数形式
将函数$f(x)=2x+\dfrac {8}{x-1}$调整为$f(x)=2(x-1)+\dfrac {8}{x-1}+2$，这样可以方便使用基本不等式。
步骤 2：应用基本不等式
根据基本不等式，对于正数$a$和$b$，有$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$，等号成立的条件是$a=b$。将$a=2(x-1)$和$b=\dfrac{8}{x-1}$代入，得到$2(x-1)+\dfrac{8}{x-1}\geqslant 2\sqrt{16}=8$。
步骤 3：求最小值
将步骤2的结果代入$f(x)$，得到$f(x)\geqslant 8+2=10$。等号成立的条件是$2(x-1)=\dfrac{8}{x-1}$，解得$x=3$。
将函数$f(x)=2x+\dfrac {8}{x-1}$调整为$f(x)=2(x-1)+\dfrac {8}{x-1}+2$，这样可以方便使用基本不等式。
步骤 2：应用基本不等式
根据基本不等式，对于正数$a$和$b$，有$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$，等号成立的条件是$a=b$。将$a=2(x-1)$和$b=\dfrac{8}{x-1}$代入，得到$2(x-1)+\dfrac{8}{x-1}\geqslant 2\sqrt{16}=8$。
步骤 3：求最小值
将步骤2的结果代入$f(x)$，得到$f(x)\geqslant 8+2=10$。等号成立的条件是$2(x-1)=\dfrac{8}{x-1}$，解得$x=3$。