题目
1．设f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则lim _(xarrow 0)dfrac (f(3x)-f(x))(x)-|||-__=______.
1．设f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则
=______.
题目解答
答案
解：∵
且
∴
解析
步骤 1：将极限表达式拆分为两个极限的差
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)-f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)}{x}-\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$
步骤 2：计算第一个极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)}{x}=\dfrac {1}{3}\lim _{3x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)-f(0)}{3x-0}=\dfrac {1}{3}f'(0)$
步骤 3：计算第二个极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$
步骤 4：将两个极限的结果相减
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)-f(x)}{x}=\dfrac {1}{3}f'(0)-f'(0)=-\dfrac {2}{3}f'(0)$
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)-f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)}{x}-\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$
步骤 2：计算第一个极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)}{x}=\dfrac {1}{3}\lim _{3x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)-f(0)}{3x-0}=\dfrac {1}{3}f'(0)$
步骤 3：计算第二个极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$
步骤 4：将两个极限的结果相减
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(3x)-f(x)}{x}=\dfrac {1}{3}f'(0)-f'(0)=-\dfrac {2}{3}f'(0)$