题目
设集合S = (1, 2, 3, 4)，对于∀a, b ∈ S，下列哪些运算是S上的二元运算？A. a ∘ b = a + bB. a ∘ b = a - bC. a ∘ b = (a + b) mod 5D. a ∘ b = (ab) mod 5
设集合S = {1, 2, 3, 4}，对于∀a, b ∈ S，下列哪些运算是S上的二元运算？
A. a ∘ b = a + b
B. a ∘ b = a - b
C. a ∘ b = (a + b) mod 5
D. a ∘ b = (ab) mod 5
题目解答
答案
A. a ∘ b = a + b：对于S中的任意元素，它们的和可能大于4（例如，3 + 4 = 7），因此并不总是在集合S中。所以这不是S上的二元运算。
B. a ∘ b = a - b：这个运算可能产生负数（例如，1 - 4 = -3），这也不在集合S中。因此这同样不是S上的二元运算。
C. a ∘ b = (a + b) mod 5：模运算确保结果总是在0到4之间，但由于集合S不包含0，所以当a和b的和为5时，运算结果为0，不在S中。因此，这也不是S上的二元运算。
D. a ∘ b = (ab) mod 5：这个运算的结果总是在1到4之间，因为S中没有0，乘积不会是5的倍数，所以结果永远不会是0。因此，这是S上的二元运算。
因此，本题答案为：D
解析
步骤 1：分析选项A
a ∘ b = a + b：对于S中的任意元素，它们的和可能大于4（例如，3 + 4 = 7），因此并不总是在集合S中。所以这不是S上的二元运算。
步骤 2：分析选项B
a ∘ b = a - b：这个运算可能产生负数（例如，1 - 4 = -3），这也不在集合S中。因此这同样不是S上的二元运算。
步骤 3：分析选项C
a ∘ b = (a + b) mod 5：模运算确保结果总是在0到4之间，但由于集合S不包含0，所以当a和b的和为5时，运算结果为0，不在S中。因此，这也不是S上的二元运算。
步骤 4：分析选项D
a ∘ b = (ab) mod 5：这个运算的结果总是在1到4之间，因为S中没有0，乘积不会是5的倍数，所以结果永远不会是0。因此，这是S上的二元运算。
a ∘ b = a + b：对于S中的任意元素，它们的和可能大于4（例如，3 + 4 = 7），因此并不总是在集合S中。所以这不是S上的二元运算。
步骤 2：分析选项B
a ∘ b = a - b：这个运算可能产生负数（例如，1 - 4 = -3），这也不在集合S中。因此这同样不是S上的二元运算。
步骤 3：分析选项C
a ∘ b = (a + b) mod 5：模运算确保结果总是在0到4之间，但由于集合S不包含0，所以当a和b的和为5时，运算结果为0，不在S中。因此，这也不是S上的二元运算。
步骤 4：分析选项D
a ∘ b = (ab) mod 5：这个运算的结果总是在1到4之间，因为S中没有0，乘积不会是5的倍数，所以结果永远不会是0。因此，这是S上的二元运算。