题目
求变力F=(-2x+y)i+(y-3 x)→(3)将质点沿圆F=(-2x+y)i+(y-3 x)→(3)的正向转动一周所做的功
求变力
将质点沿圆
的正向转动一周所做的功
题目解答
答案
依题意，设
沿圆的正向转动一周方向为
∴根据曲线积分的物理意义，得
变力将质点沿圆的正向转动一周所做的功为
设围成的闭合区域为
其表示的是圆心在原点，半径为2的圆域
令
则，
根据格林公式，得
解析
步骤 1：确定变力和路径
变力为$\overrightarrow {F}=(-2x+y)\overrightarrow {i}+(y-3x)\overrightarrow {j}$，路径为圆${x}^{2}+{y}^{2}=4$的正向一周。
步骤 2：应用格林公式
根据格林公式，对于闭合曲线L，有
$W={\int }_{L}^{-1}(-2x+y)dx+(y-3x)dy$
$=\iint_{D}(\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y})dxdy$
其中，$P=-2x+y$，$Q=y-3x$，$D$为圆${x}^{2}+{y}^{2}=4$围成的区域。
步骤 3：计算偏导数
计算$\dfrac {\partial Q}{\partial x}$和$\dfrac {\partial P}{\partial y}$，得
$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=-3$，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=1$
步骤 4：计算积分
代入格林公式，得
$W=\iint_{D}(-3-1)dxdy$
$=-4\iint_{D}dxdy$
$=-4\times \pi \times {2}^{2}$
$=-16\pi $
变力为$\overrightarrow {F}=(-2x+y)\overrightarrow {i}+(y-3x)\overrightarrow {j}$，路径为圆${x}^{2}+{y}^{2}=4$的正向一周。
步骤 2：应用格林公式
根据格林公式，对于闭合曲线L，有
$W={\int }_{L}^{-1}(-2x+y)dx+(y-3x)dy$
$=\iint_{D}(\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y})dxdy$
其中，$P=-2x+y$，$Q=y-3x$，$D$为圆${x}^{2}+{y}^{2}=4$围成的区域。
步骤 3：计算偏导数
计算$\dfrac {\partial Q}{\partial x}$和$\dfrac {\partial P}{\partial y}$，得
$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=-3$，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=1$
步骤 4：计算积分
代入格林公式，得
$W=\iint_{D}(-3-1)dxdy$
$=-4\iint_{D}dxdy$
$=-4\times \pi \times {2}^{2}$
$=-16\pi $