He-Ne激光器的中心频率=4.74×Hz,荧光线宽=1.5×Hz,腔长L=1m。问可能输出的纵模数为多少?为获得单纵模输出,腔长最长为多少?

考查要点：本题主要考查激光器纵模选择的基本原理，涉及纵模间隔的计算及单纵模输出条件的应用。

解题核心思路：

1. 纵模数计算：根据荧光线宽与纵模间隔的关系，确定可激发的纵模数量。公式为 $N = \left[\frac{\Delta \nu_a}{\Delta \nu_0}\right] + 1$，其中 $\Delta \nu_0 = \frac{c}{2L}$。
2. 单纵模条件：当荧光线宽小于纵模间隔时，仅能激发一个纵模，此时腔长需满足 $L < \frac{c}{2\Delta \nu_a}$。

破题关键点：

• 纵模间隔公式：$\Delta \nu_0 = \frac{c}{2L}$，需注意单位统一。
• 临界条件判断：单纵模要求 $\Delta \nu_a < \Delta \nu_0$，需反向推导腔长限制。

(1) 可能输出的纵模数

1. 计算纵模间隔
   根据公式 $\Delta \nu_0 = \frac{c}{2L}$，代入 $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$，$L = 1 \, \text{m}$：
   $\Delta \nu_0 = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 1} = 1.5 \times 10^8 \, \text{Hz}$

2. 计算纵模数
   荧光线宽 $\Delta \nu_a = 1.5 \times 10^9 \, \text{Hz}$，纵模数公式为：
   $N = \left[\frac{\Delta \nu_a}{\Delta \nu_0}\right] + 1 = \left[\frac{1.5 \times 10^9}{1.5 \times 10^8}\right] + 1 = 10 + 1 = 11$

(2) 单纵模输出的最大腔长

1. 单纵模条件
   要求 $\Delta \nu_a < \Delta \nu_0$，即：
   $\frac{c}{2L} > \Delta \nu_a \quad \Rightarrow \quad L < \frac{c}{2\Delta \nu_a}$

2. 计算最大腔长
   代入 $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$，$\Delta \nu_a = 1.5 \times 10^9 \, \text{Hz}$：
   $L < \frac{3 \times 10^8}{2 \times 1.5 \times 10^9} = 0.1 \, \text{m}$