如图所示液压千斤顶中，F是手掀动手柄的力，假定F=300N两活塞直径分别为D=20cm, d=10cm, 试求:G 540 F-|||-27-|||-D-|||-F:-|||-d-|||-p(1)作用在小活塞上的力(F)_(1) ;(2)系统中的压力p;(3)大活塞能顶起重物的重量G;(4)大、小活塞的运动速度之比。
如图所示液压千斤顶中，$$F$$是手掀动手柄的力，假定$$F$$=300N两活塞直径分别为$$D=20cm$$, $$d=10cm$$, 试求:
(1)作用在小活塞上的力$${F}_{1} $$;
(2)系统中的压力p;
(3)大活塞能顶起重物的重量G;
(4)大、小活塞的运动速度之比。
题目解答
答案
(1)设$$F$$的力臂为$$L$$, $${F}_{1} $$的力臂为$${L}_{1} $$。根据杠杆原理有:$$FL={F}_{1} {L}_{1} $$。即$$300N×540m={F}_{1} ×27m$$。得到$${F}_{1} $$=6000N;
(2)由于活塞面积不一，两个活塞上面受到的压力不同，也不存在系统整体受压力大小的问题。对于这种系统可以求得系统整体受到得压强,压强在两边活塞是一样的，但压力是不—木样的。故求压强时根据压强公式$$p=$$$${F}\over{s} $$, 将小活塞上面的压力$${F}_{1} $$和小活塞面积$$\pi $$$${{d}\over{4} }^{2} $$带入得到压强值为764331Pa；
(3)根据帕斯卡原理系统中压强为764331Pa, 对大活塞根据压强公式有$$G=pS=p$$$$\pi $$$${{d}\over{4} }^{2} $$将数值带入得$$G=24000N$$;
(4)大小活塞对应运动体积相同，设大活塞移动$${d}_{2} $$, 小活塞移动$${d}_{1} $$, 则有$${s}_{1} {d}_{1} ={s}_{2} {d}_{2} $$, 将数据带入得到$${{d}_{1} }\over{{d}_{2} } $$$$=$$$${{s}_{1} }\over{{s}_{2} } $$$$=$$$${1}\over{4} $$。
解析
- 考查要点：本题综合考查杠杆原理、压强计算、帕斯卡原理及液压传动中活塞运动速度关系。
- 解题思路：
- （1）小活塞上的力：利用杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂）计算。
- （2）系统压强：根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，用小活塞所受压力和面积计算。
- （3）大活塞顶重：利用帕斯卡原理（压强传递相等），通过大活塞面积计算重物重量。
- （4）运动速度比：根据液压传动中体积流量相等，推导速度与面积的反比关系。
第（1）题
应用杠杆平衡条件
根据题意，手柄的力$F=300\ \text{N}$，力臂$L=540\ \text{m}$，小活塞的力臂$L_1=27\ \text{m}$。
由杠杆平衡条件：
$F \cdot L = F_1 \cdot L_1$
代入数据：
$300 \cdot 540 = F_1 \cdot 27 \implies F_1 = \frac{300 \cdot 540}{27} = 6000\ \text{N}$
第（2）题
计算压强
小活塞面积$S_1 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = \pi \cdot 0.0025\ \text{m}^2$。
压强公式：
$p = \frac{F_1}{S_1} = \frac{6000}{\pi \cdot 0.0025} \approx 764331\ \text{Pa}$
第（3）题
应用帕斯卡原理
大活塞面积$S_2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.2}{2}\right)^2 = \pi \cdot 0.01\ \text{m}^2$。
重物重量：
$G = p \cdot S_2 = 764331 \cdot \pi \cdot 0.01 \approx 24000\ \text{N}$
第（4）题
体积流量相等
设大、小活塞移动距离为$d_2$和$d_1$，体积流量相等：
$S_1 \cdot d_1 = S_2 \cdot d_2 \implies \frac{d_1}{d_2} = \frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 0.01}{\pi \cdot 0.0025} = 4$
因此，速度比为：
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{4}$