题目
已知向量组A：a1,a2,a3线性无关，证明：a1,a2,a3，a1,a2,a3，a1,a2,a3也线性无关.
已知向量组A：
线性无关，证明：
，
，
也线性无关.
题目解答
答案
证明：已知向量组A：线性无关，对于向量组
，当矩阵
可逆时，向量组，，也线性无关，对于矩阵，使第二行减第一行，第三行减第二行，得到阶梯形矩阵
，化简后的阶梯形矩阵有三行非零行，矩阵C的秩等于阶梯形矩阵中非零行数，可知矩阵C秩为3，即满秩，故矩阵C可逆，故向量组，，也线性无关，故得证。
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵C，其列向量为$\overrightarrow {{b}_{1}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}$，即$C=[\overrightarrow {{b}_{1}}\overrightarrow {{b}_{2}}\overrightarrow {{b}_{3}}]$。根据题意，$\overrightarrow {{b}_{1}}=\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}=\overrightarrow {{a}_{2}}+\overrightarrow {{a}_{3}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}=\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{3}}$，所以$C=[\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{2}}\overrightarrow {{a}_{2}}+\overrightarrow {{a}_{3}}\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{3}}]$。
步骤 2：矩阵的秩
矩阵C的秩等于阶梯形矩阵中非零行数。如果矩阵C的秩等于3，即满秩，那么矩阵C可逆，从而向量组$\overrightarrow {{b}_{1}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}$线性无关。
步骤 3：化简矩阵
对矩阵C进行行变换，使第二行减第一行，第三行减第二行，得到阶梯形矩阵。由于向量组A：a1,a2,a3线性无关，所以矩阵C的秩为3，即满秩，故矩阵C可逆，从而向量组$\overrightarrow {{b}_{1}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}$线性无关。
构造一个矩阵C，其列向量为$\overrightarrow {{b}_{1}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}$，即$C=[\overrightarrow {{b}_{1}}\overrightarrow {{b}_{2}}\overrightarrow {{b}_{3}}]$。根据题意，$\overrightarrow {{b}_{1}}=\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}=\overrightarrow {{a}_{2}}+\overrightarrow {{a}_{3}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}=\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{3}}$，所以$C=[\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{2}}\overrightarrow {{a}_{2}}+\overrightarrow {{a}_{3}}\overrightarrow {{a}_{1}}+\overrightarrow {{a}_{3}}]$。
步骤 2：矩阵的秩
矩阵C的秩等于阶梯形矩阵中非零行数。如果矩阵C的秩等于3，即满秩，那么矩阵C可逆，从而向量组$\overrightarrow {{b}_{1}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}$线性无关。
步骤 3：化简矩阵
对矩阵C进行行变换，使第二行减第一行，第三行减第二行，得到阶梯形矩阵。由于向量组A：a1,a2,a3线性无关，所以矩阵C的秩为3，即满秩，故矩阵C可逆，从而向量组$\overrightarrow {{b}_{1}}$，$\overrightarrow {{b}_{2}}$，$\overrightarrow {{b}_{3}}$线性无关。