试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(1) 曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为 alpha；(2) 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 l；

我们分别来分析并建立两个具有指定几何性质的曲线所满足的微分方程。解题过程如下：

(1) 曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为 $\alpha$

分析：

设曲线为 $ y = y(x) $，曲线上任意一点为 $ P = (x, y) $。

• 径向向量：从原点指向点 $ P $ 的向量为 $ \vec{r} = \langle x, y \rangle $。
• 切线方向向量：曲线在该点的切线方向为 $ \vec{t} = \langle 1, y' \rangle $，其中 $ y' = \frac{dy}{dx} $。

题目要求：切线与径向的夹角恒为 $\alpha$。

我们可以利用向量夹角公式：

$\cos \alpha = \frac{ \vec{r} \cdot \vec{t} }{ $\vec{r}$ \cdot $\vec{t}$ }$

计算点积和模长：

• $ \vec{r} \cdot \vec{t} = x \cdot 1 + y \cdot y' = x + y y' $
• $ $\vec{r}$ = \sqrt{x^2 + y^2} $
• $ $\vec{t}$ = \sqrt{1 + (y')^2} $

代入得：

$\cos \alpha = \frac{x + y y'}{ \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1 + (y')^2} }$

两边平方（可选，但通常保留原式即可），但我们更希望得到一个微分方程，因此整理为：

$\frac{x + y y'}{ \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1 + (y')^2} } = \cos \alpha$

这就是所求的微分方程。为了更清晰，我们可以写成：

$x + y y' = \cos \alpha \cdot \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1 + (y')^2}$

这是关于 $ y' $ 的非线性微分方程，即为满足“切线与径向夹角恒为 $\alpha$”的曲线所满足的微分方程。

进一步说明（可选）：

若 $\alpha = \frac{\pi}{2}$，即切线与径向垂直，则 $\cos \alpha = 0$，于是：

$x + y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$

解为 $ x^2 + y^2 = C $，即以原点为圆心的圆，符合几何直觉（圆的切线与半径垂直）。

若 $\alpha = 0$，即切线与径向同向，则曲线应为从原点出发的射线，即 $ y = kx $，代入可验证成立。

(2) 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 $ l $

分析：

考虑曲线上一点 $ (x, y) $，其切线方程为：

$Y - y = y'(X - x)$

我们要求这条切线与两个坐标轴的交点之间的线段长度为定值 $ l $。

步骤 1：求切线与坐标轴的交点

• 与 $ x $-轴交点：令 $ Y = 0 $

$0 - y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$

所以交点为 $ \left( x - \frac{y}{y'}, 0 \right) $

• 与 $ y $-轴交点：令 $ X = 0 $

$Y - y = y'(0 - x) = -x y' \Rightarrow Y = y - x y'$

所以交点为 $ \left( 0, y - x y' \right) $

步骤 2：两点间距离为 $ l $

两点为：

• $ A = \left( x - \frac{y}{y'}, 0 \right) $
• $ B = \left( 0, y - x y' \right) $

距离平方为：

$\left( x - \frac{y}{y'} - 0 \right)^2 + \left( 0 - (y - x y') \right)^2 = l^2$

即：

$\left( x - \frac{y}{y'} \right)^2 + \left( y - x y' \right)^2 = l^2$

这就是所求的微分方程。

我们可以稍作整理：

令 $ p = y' $，则方程变为：

$\left( x - \frac{y}{p} \right)^2 + \left( y - x p \right)^2 = l^2$

展开：

第一项：
$\left( x - \frac{y}{p} \right)^2 = x^2 - 2x \frac{y}{p} + \frac{y^2}{p^2}$

第二项：
$(y - x p)^2 = y^2 - 2xy p + x^2 p^2$

相加：

$x^2 - 2x \frac{y}{p} + \frac{y^2}{p^2} + y^2 - 2xy p + x^2 p^2 = l^2$

整理：

$x^2(1 + p^2) + y^2\left(1 + \frac{1}{p^2}\right) - 2xy\left( \frac{1}{p} + p \right) = l^2$

也可以写成：

$x^2(1 + p^2) + \frac{y^2(1 + p^2)}{p^2} - 2xy \cdot \frac{1 + p^2}{p} = l^2$

提取公因式 $ (1 + p^2) $：

$(1 + p^2) \left( x^2 + \frac{y^2}{p^2} - 2xy \cdot \frac{1}{p} \right) = l^2$

注意到括号内是：

$\left( x - \frac{y}{p} \right)^2$

但其实我们之前的展开已经足够。通常保留原始形式更清晰：

$\left( x - \frac{y}{y'} \right)^2 + \left( y - x y' \right)^2 = l^2$

这就是满足“切线在两坐标轴之间的线段长度恒为 $ l $”的曲线所满足的微分方程。

补充说明：

这类曲线称为切线截距为定长的曲线，其解是阿波罗尼亚斯曲线（或称为“定长截距曲线”），其图形类似于闭合的凸曲线，如“菱形”状，但光滑。

例如，当曲线为 $ x^{2/3} + y^{2/3} = l^{2/3} $ 时，其切线在坐标轴间的截距长度恒为 $ l $，这正是该微分方程的一个解（星形线）。

最终答案：

(1) 切线与径向夹角为 $\alpha$ 的曲线满足微分方程：

$\boxed{ \frac{x + y y'}{ \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1 + (y')^2} } = \cos \alpha }$

(2) 切线在两坐标轴间长度为定值 $ l $ 的曲线满足微分方程：

$\boxed{ \left( x - \frac{y}{y'} \right)^2 + \left( y - x y' \right)^2 = l^2 }$

以上即为两个几何条件所对应的微分方程的推导过程。