13.设f(x)=(sqrt[3](x)-1)/(x-1)，则x=1是函数f(x)的____.A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点

考查要点：本题主要考查函数在某点的连续性判断及间断点类型的识别，涉及极限的计算和分式化简。

解题核心思路：

1. 判断函数在$x=1$处是否有定义：直接代入$x=1$发现分母为0，分子也为0，属于未定式，说明函数在$x=1$处无定义。
2. 计算极限$\lim_{x \to 1} f(x)$：通过因式分解或代数化简消除未定式，求出极限值。
3. 根据极限存在性及函数定义情况判断间断点类型：若极限存在但函数无定义，则为可去间断点。

破题关键点：

• 立方差公式的应用：将分母$x-1$分解为$(\sqrt[3]{x} -1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} +1)$，从而约分简化表达式。
• 极限计算：化简后的分母在$x=1$处连续，直接代入即可求得极限值。

步骤1：判断函数在$x=1$处的定义
当$x=1$时，分母$x-1=0$，分子$\sqrt[3]{1} -1=0$，因此函数在$x=1$处无定义。

步骤2：化简函数表达式
利用立方差公式：
$x - 1 = (\sqrt[3]{x})^3 - 1^3 = (\sqrt[3]{x} -1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} +1)$
因此，原函数可化简为：
$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x} -1}{(\sqrt[3]{x} -1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} +1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} +1} \quad (x \neq 1)$

步骤3：计算极限$\lim_{x \to 1} f(x)$
化简后的分母在$x=1$处连续，直接代入得：
$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} +1} = \frac{1}{1^2 +1 +1} = \frac{1}{3}$
极限存在且为$\frac{1}{3}$。

步骤4：判断间断点类型
函数在$x=1$处无定义，但极限存在，因此$x=1$是可去间断点。