题目
设 Omega 是由分片光滑的闭曲面 Sigma 所围成的空间闭区域. Sigma 取外侧, 且函数 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在 Omega 上具有一阶连续偏导数, 则 iint_(Sigma) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ( ).A. iiint_(Omega) ((partial P)/(partial x) + (partial Q)/(partial y) + (partial R)/(partial z) )dV.B. iiint_(Omega) ((partial P)/(partial x) - (partial Q)/(partial y) - (partial R)/(partial z) )dV.C. iiint_(Omega) (P + Q + R)dV.D. iiint_(Omega) (P - Q - R)dV.
设 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的空间闭区域. $\Sigma$ 取外侧, 且函数 $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数, 则 $\iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (\ )$.
A. $\iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)dV$.
B. $\iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial R}{\partial z} \right)dV$.
C. $\iiint_{\Omega} (P + Q + R)dV$.
D. $\iiint_{\Omega} (P - Q - R)dV$.
题目解答
答案
A. $\iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)dV$.
解析
步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，对于一个分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$，如果函数 $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，那么有：
\[ \iint_{\Sigma} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, dV \]
步骤 2：验证题目条件
题目中给出的条件满足高斯公式的应用条件，即 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的空间闭区域，$\Sigma$ 取外侧，且函数 $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数。
步骤 3：选择正确答案
根据高斯公式，题目中的曲面积分可以转换为三重积分，对应选项 A。
根据高斯公式，对于一个分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$，如果函数 $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，那么有：
\[ \iint_{\Sigma} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, dV \]
步骤 2：验证题目条件
题目中给出的条件满足高斯公式的应用条件，即 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的空间闭区域，$\Sigma$ 取外侧，且函数 $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数。
步骤 3：选择正确答案
根据高斯公式，题目中的曲面积分可以转换为三重积分，对应选项 A。