12.2 载流的圆形线圈(半径a1)与正方形线圈(边长a 2)通有相同电流I.若两个线圈-|||-的中心O1,O2处的磁感强度大小相同,则半径a1与边长a2之比a1:a2为 ()-|||-(A)1:1 (B) sqrt (2)pi :1 (C) sqrt (2)pi :4 (D) sqrt (2)pi :8

本题考查载流圆形线圈和正方形线圈中心处磁感强度的计算，需利用毕奥-萨伐尔定律推导两种线圈中心的磁感强度公式，再根据题目条件求解半径与边长的比值。

步骤1：圆形线圈中心的磁感强度

圆形线圈（半径$a_1$）通电流$I$时，中心$O_1$处的磁感强度公式为：
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2a_1}$
（推导：毕奥-萨伐尔定律积分，各电流元在中心的磁场方向相同，大小累加得此结果。）

步骤2：正方形线圈中心的磁感强度

正方形线圈（边长$a_2$）通电流$I$时，中心$O_2$处的磁感强度需计算一条边的贡献再乘以4：

• 正方形边长$a_2$，中心到每条边的距离$d = \frac{a_2}{2}$，边的延长线过中心垂线，与边夹角$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$。
• 一条边在中心的磁场： $B_{\text{边}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin\theta_1 + \sin\theta_2) = \frac{\mu_0 I}{4\pi (\frac{a_2}{2})}(\sin45^\circ + \sin45^\circ)$
• 代入$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得： $B_{\text{边}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a_2} \cdot \sqrt{2}$
• 四条边总磁场： $B_2 = 4B_{\text{边}} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a_2}$

步骤3：令$B_1 = B_2$求解比值

$\frac{\mu_0 I}{2a_1} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a_2}$
约去$\mu_0 I$，整理得： $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{8}$
（分子分母同乘$\sqrt{2}$有理化：$\frac{\pi}{4\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$）