题目

2.求下列不定积分.-|||-(2) int dfrac (1)((1+2x)(1+{x)^2)}dx;

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查有理函数的不定积分，需要运用部分分式法将复杂分式分解为简单分式的和，再分别积分。

解题核心思路：

  1. 分解分母：将分母$(1+2x)(1+x^2)$拆分为部分分式，形式为$\frac{A}{1+2x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}$。
  2. 待定系数法：通过比较分子多项式，解方程组确定系数$A, B, C$。
  3. 逐项积分：将原积分转化为三个简单分式的积分之和，分别计算后合并结果。

破题关键点：

  • 正确设定部分分式的形式，确保覆盖所有可能的分式类型。
  • 准确解方程组，避免系数计算错误。
  • 熟练掌握基本积分公式，如$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x$和$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \ln(1+x^2)$。

步骤1：部分分式分解

将原分式$\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)}$分解为：
$\frac{A}{1+2x} + \frac{Bx + C}{1+x^2}$
通分后比较分子，得方程：
$1 = A(1+x^2) + (Bx + C)(1+2x)$
展开并整理得：
$(A + 2B)x^2 + (B + 2C)x + (A + C) = 1$
对比系数，建立方程组：
$\begin{cases}A + 2B = 0 \\B + 2C = 0 \\A + C = 1\end{cases}$
解得：
$A = \frac{4}{5}, \quad B = -\frac{2}{5}, \quad C = \frac{1}{5}$

步骤2：拆分积分

原积分拆分为：
$\int \frac{4/5}{1+2x}dx + \int \frac{-2x/5 + 1/5}{1+x^2}dx$
进一步拆分第二项：
$\int \frac{4}{5(1+2x)}dx + \int \frac{-2x}{5(1+x^2)}dx + \int \frac{1}{5(1+x^2)}dx$

步骤3：逐项积分

  1. 第一项：
    $\int \frac{4}{5(1+2x)}dx = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln|1+2x| = \frac{2}{5} \ln|1+2x|$
  2. 第二项：
    $\int \frac{-2x}{5(1+x^2)}dx = -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln(1+x^2) = -\frac{1}{5} \ln(1+x^2)$
  3. 第三项：
    $\int \frac{1}{5(1+x^2)}dx = \frac{1}{5} \arctan x$

步骤4：合并结果

将所有积分结果相加，得到最终答案：
$\frac{1}{5} \arctan x + \frac{2}{5} \ln|1+2x| - \frac{1}{5} \ln(1+x^2) + C$