题目
25. 证明关于n维向量的三角不等式||alpha+beta||leqslant||alpha||+||beta||.
25. 证明关于n维向量的三角不等式$||\alpha+\beta||\leqslant||\alpha||+||\beta||$.
题目解答
答案
设 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T$，则
\[
||\alpha + \beta||^2 = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i.
\]
由柯西-施瓦茨不等式，$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$，故
\[
2\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq 2\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} = 2||\alpha|| \cdot ||\beta||.
\]
因此，
\[
||\alpha + \beta||^2 \leq ||\alpha||^2 + ||\beta||^2 + 2||\alpha|| \cdot ||\beta|| = (||\alpha|| + ||\beta||)^2.
\]
取平方根得
\[
||\alpha + \beta|| \leq ||\alpha|| + ||\beta||.
\]
证毕。
解析
步骤 1：定义向量的模
设 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T$，则向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 的模分别为 $||\alpha|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$ 和 $||\beta|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$。
步骤 2：计算向量和的模的平方
向量 $\alpha + \beta$ 的模的平方为 $||\alpha + \beta||^2 = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2$。展开后得到 $||\alpha + \beta||^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i$。
步骤 3：应用柯西-施瓦茨不等式
由柯西-施瓦茨不等式，$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$，故 $2\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq 2\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} = 2||\alpha|| \cdot ||\beta||$。
步骤 4：证明三角不等式
因此，$||\alpha + \beta||^2 \leq ||\alpha||^2 + ||\beta||^2 + 2||\alpha|| \cdot ||\beta|| = (||\alpha|| + ||\beta||)^2$。取平方根得 $||\alpha + \beta|| \leq ||\alpha|| + ||\beta||$。证毕。
设 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T$，则向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 的模分别为 $||\alpha|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$ 和 $||\beta|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$。
步骤 2：计算向量和的模的平方
向量 $\alpha + \beta$ 的模的平方为 $||\alpha + \beta||^2 = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2$。展开后得到 $||\alpha + \beta||^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i$。
步骤 3：应用柯西-施瓦茨不等式
由柯西-施瓦茨不等式，$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$，故 $2\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq 2\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} = 2||\alpha|| \cdot ||\beta||$。
步骤 4：证明三角不等式
因此，$||\alpha + \beta||^2 \leq ||\alpha||^2 + ||\beta||^2 + 2||\alpha|| \cdot ||\beta|| = (||\alpha|| + ||\beta||)^2$。取平方根得 $||\alpha + \beta|| \leq ||\alpha|| + ||\beta||$。证毕。