证明方程^4+4x-3=0 在 ^4+4x-3=0 内至少有一个实根。

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理以及利用导数判断函数单调性的应用，通过分析函数在区间端点的函数值符号变化，结合单调性，证明方程在指定区间内至少存在一个实根。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式，便于分析。
2. 验证端点函数值符号：计算区间端点处的函数值，若符号相反，则可能存在根。
3. 分析函数单调性：通过求导判断函数在区间内的单调性，确保根的唯一性或存在性。
4. 应用介值定理：结合连续性和端点函数值符号变化，直接证明根的存在性。

破题关键点：

• 多项式函数的连续性：无需额外证明，直接应用介值定理。
• 导数的正负性：通过导数判断函数在区间内严格单调递增，强化结论的严谨性。

步骤1：构造函数并计算端点值

令函数 $f(x) = x^4 + 4x - 3$，则方程 $x^4 + 4x - 3 = 0$ 的实根对应 $f(x) = 0$ 的解。

• 计算 $f(0)$：
  $f(0) = 0^4 + 4 \cdot 0 - 3 = -3 < 0$

• 计算 $f(1)$：
  $f(1) = 1^4 + 4 \cdot 1 - 3 = 1 + 4 - 3 = 2 > 0$

结论：$f(0) < 0$ 且 $f(1) > 0$，说明函数在区间端点处的函数值符号相反。

步骤2：分析函数单调性

对 $f(x)$ 求导：
$f'(x) = 4x^3 + 4$

在区间 $(0,1)$ 内：

• 分析导数的符号：
  $x \in (0,1) \implies x^3 > 0 \implies 4x^3 + 4 > 4 \cdot 0 + 4 = 4 > 0$
  因此，$f'(x) > 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内严格单调递增。

步骤3：应用介值定理

1. 连续性：多项式函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续。
2. 端点函数值符号相反：$f(0) < 0$，$f(1) > 0$。
3. 存在性结论：根据介值定理，存在 $c \in (0,1)$，使得 $f(c) = 0$，即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。