求极限lim _(xarrow 0)dfrac (1)({x)^3}[ ((dfrac {2+cos x)(3))}^x-1] -|||-__

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 处理指数部分：将$(\frac{2+\cos x}{3})^x$转化为指数函数形式$e^{x \ln (\frac{2+\cos x}{3})}$，利用泰勒展开或等价无穷小简化表达式。
2. 简化分子：当$x \to 0$时，$\frac{2+\cos x}{3} \to 1$，此时$e^y -1 \sim y$（其中$y = x \ln (\frac{2+\cos x}{3})$），从而将分子近似为$x \ln (\frac{2+\cos x}{3})$。
3. 应用洛必达法则：对简化后的分式$\frac{\ln (\frac{2+\cos x}{3})}{x^2}$连续求导，结合$\sin x \sim x$的等价无穷小替换，最终求得极限值。

破题关键点：

• 识别0/0型不定式，选择洛必达法则或泰勒展开。
• 灵活运用等价无穷小替换简化计算步骤。
• 分步处理复合函数，逐步降低复杂度。

步骤1：处理指数部分
将原式分子展开为指数函数形式：
$\left( \frac{2+\cos x}{3} \right)^x -1 = e^{x \ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right)} -1$
当$x \to 0$时，$\frac{2+\cos x}{3} \to 1$，因此$\ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right) \to 0$。利用等价无穷小$e^y -1 \sim y$（当$y \to 0$），得：
$e^{x \ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right)} -1 \sim x \ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right)$
原式化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x \ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right)}{x^2}$

步骤2：应用洛必达法则
分子$\ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right)$和分母$x^2$均趋近于0，对分子分母分别求导：

• 分子导数：
  $\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{2+\cos x}{3} \right) = \frac{1}{\frac{2+\cos x}{3}} \cdot \left( -\frac{\sin x}{3} \right) = \frac{-\sin x}{2+\cos x}$
• 分母导数：
  $\frac{d}{dx} x^2 = 2x$
  应用洛必达法则后，极限变为：
  $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x / (2+\cos x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x (2+\cos x)}$

步骤3：简化并求极限
利用等价无穷小$\sin x \sim x$（当$x \to 0$），代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x (2+\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2 (2+\cos x)}$
当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{2 (2+1)} = -\frac{1}{6}$