题目

1-12 (华中师范大学，2011，一，(1)，8分)设x_(1)in(0,(pi)/(2))，x_(n+1)=sin x_(n)，证明lim_(ntoinfty)x_(n)=0。

1-12 (华中师范大学，2011，一，(1)，8分) 设$x_{1}\in(0,\frac{\pi}{2})$，$x_{n+1}=\sin x_{n}$，证明$\lim_{n\to\infty}x_{n}=0$。

题目解答

答案

设 $x_1 \in (0, \frac{\pi}{2})$，且 $x_{n+1} = \sin x_n$。 1. **有界性**： 由 $x_1 \in (0, \frac{\pi}{2})$，知 $x_2 = \sin x_1 \in (0, 1)$。 递推得 $x_n \in (0, 1)$，序列有界。 2. **单调性**： 对 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\sin x < x$，故 $x_{n+1} = \sin x_n < x_n$，序列递减。 3. **极限**： 由单调有界原理，序列收敛。设极限为 $L$，则 $L = \sin L$。 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 内，唯一解为 $L = 0$。 **结论**： $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。 $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查递推数列的收敛性证明，涉及单调有界原理和方程求解的应用。

解题核心思路：

  1. 确定数列的单调性和有界性：通过递推关系分析数列是否单调递减且有下界。
  2. 应用单调有界原理：证明数列收敛。
  3. 求解极限方程：假设极限存在，代入递推关系求出极限值。

破题关键点：

  • 利用不等式 $\sin x < x$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上的性质，证明数列单调递减。
  • 结合数列下界为 $0$，应用单调有界原理保证收敛性。
  • 解方程 $L = \sin L$，结合函数图像分析唯一解为 $L = 0$。

步骤1：证明数列单调递减且有下界

  1. 初始条件：$x_1 \in (0, \frac{\pi}{2})$，故 $x_2 = \sin x_1 \in (0, 1)$。
  2. 递推关系：对任意 $x_n \in (0, \frac{\pi}{2})$，有 $\sin x_n < x_n$，因此 $x_{n+1} = \sin x_n < x_n$，数列单调递减。
  3. 下界分析：所有项均为正数，故数列下界为 $0$。

步骤2：应用单调有界原理

由单调有界原理，数列 $\{x_n\}$ 收敛，设极限为 $L$。

步骤3：求解极限方程

取递推关系 $x_{n+1} = \sin x_n$ 的极限，得：
$L = \sin L.$

步骤4：分析方程解

  • 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，函数 $f(L) = \sin L - L$ 满足：
    • $f(0) = 0$，
    • 导数 $f'(L) = \cos L - 1 < 0$（当 $L > 0$ 时），
    • 因此 $f(L)$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递减，唯一解为 $L = 0$。