某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不-|||-超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多-|||-少?

考查要点：本题主要考查不放回抽样下的概率计算以及条件概率的应用。关键在于理解每次拨号后排除已试数字，导致后续概率变化。

解题思路：

1. 第一问：计算三次内拨通的概率，需考虑第一次成功、第二次成功、第三次成功三种互斥情况，分别计算概率后相加。
2. 第二问：在已知最后一个数字是奇数的条件下，样本空间缩小为5个奇数，按类似方法计算，或用补集法简化计算。

破题关键：

• 不放回抽样：每次拨号后排除已试数字，剩余可能数递减。
• 条件概率：已知最后一个数字是奇数时，总可能数从10变为5，后续计算需调整分母。

第一问：未限定最后一个数字的概率

情况1：第一次拨号成功

• 概率：$\dfrac{1}{10}$。

情况2：第一次失败，第二次成功

• 第一次失败概率：$\dfrac{9}{10}$。
• 第二次从剩余9个数字中选对：$\dfrac{1}{9}$。
• 总概率：$\dfrac{9}{10} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{10}$。

情况3：前两次失败，第三次成功

• 前两次失败概率：$\dfrac{9}{10} \times \dfrac{8}{9}$。
• 第三次从剩余8个数字中选对：$\dfrac{1}{8}$。
• 总概率：$\dfrac{9}{10} \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{10}$。

总概率

• 三种情况互斥，概率相加：$\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{10}$。

第二问：已知最后一个数字是奇数的概率

方法1：直接计算

• 奇数共有5个（1,3,5,7,9）。
• 第一次成功：$\dfrac{1}{5}$。
• 第二次成功：第一次失败（$\dfrac{4}{5}$）后选对：$\dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{5}$。
• 第三次成功：前两次失败（$\dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{4}$）后选对：$\dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5}$。
• 总概率：$\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}$。

方法2：补集法

• 三次都失败的概率：$\dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}$。
• 成功概率：$1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$。