题目
某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不-|||-超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多-|||-少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件 $A_{1}$ 表示第一次拨号接通，事件 $A_{2}$ 表示第二次拨号接通，事件 $A_{3}$ 表示第三次拨号接通。事件 $\overline{A_{1}}$ 表示第一次拨号未接通，事件 $\overline{A_{2}}$ 表示第二次拨号未接通，事件 $\overline{A_{3}}$ 表示第三次拨号未接通。
步骤 2：计算概率
- 第一次拨号接通的概率为 $P(A_{1}) = \frac{1}{10}$。
- 第一次拨号未接通，第二次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}A_{2}) = P(A_{2}|\overline{A_{1}})P(\overline{A_{1}}) = \frac{1}{9} \times \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$。
- 第一次和第二次拨号未接通，第三次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = P(A_{3}|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}})P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}) = \frac{1}{8} \times \frac{8}{9} \times \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$。
步骤 3：求解总概率
由于事件 $A_{1}$，$\overline{A_{1}}A_{2}$，$\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$ 互不相容，所以拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：
$P(A) = P(A_{1}) + P(\overline{A_{1}}A_{2}) + P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$。
步骤 4：已知最后一个数字是奇数时的概率
- 第一次拨号接通的概率为 $P(A_{1}) = \frac{1}{5}$。
- 第一次拨号未接通，第二次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}A_{2}) = P(A_{2}|\overline{A_{1}})P(\overline{A_{1}}) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$。
- 第一次和第二次拨号未接通，第三次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = P(A_{3}|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}})P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$。
步骤 5：求解总概率
由于事件 $A_{1}$，$\overline{A_{1}}A_{2}$，$\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$ 互不相容，所以拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：
$P(A) = P(A_{1}) + P(\overline{A_{1}}A_{2}) + P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$。
设事件 $A_{1}$ 表示第一次拨号接通，事件 $A_{2}$ 表示第二次拨号接通，事件 $A_{3}$ 表示第三次拨号接通。事件 $\overline{A_{1}}$ 表示第一次拨号未接通，事件 $\overline{A_{2}}$ 表示第二次拨号未接通，事件 $\overline{A_{3}}$ 表示第三次拨号未接通。
步骤 2：计算概率
- 第一次拨号接通的概率为 $P(A_{1}) = \frac{1}{10}$。
- 第一次拨号未接通，第二次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}A_{2}) = P(A_{2}|\overline{A_{1}})P(\overline{A_{1}}) = \frac{1}{9} \times \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$。
- 第一次和第二次拨号未接通，第三次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = P(A_{3}|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}})P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}) = \frac{1}{8} \times \frac{8}{9} \times \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$。
步骤 3：求解总概率
由于事件 $A_{1}$，$\overline{A_{1}}A_{2}$，$\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$ 互不相容，所以拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：
$P(A) = P(A_{1}) + P(\overline{A_{1}}A_{2}) + P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$。
步骤 4：已知最后一个数字是奇数时的概率
- 第一次拨号接通的概率为 $P(A_{1}) = \frac{1}{5}$。
- 第一次拨号未接通，第二次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}A_{2}) = P(A_{2}|\overline{A_{1}})P(\overline{A_{1}}) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$。
- 第一次和第二次拨号未接通，第三次拨号接通的概率为 $P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = P(A_{3}|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}})P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$。
步骤 5：求解总概率
由于事件 $A_{1}$，$\overline{A_{1}}A_{2}$，$\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$ 互不相容，所以拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：
$P(A) = P(A_{1}) + P(\overline{A_{1}}A_{2}) + P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$。