题目

对任意方阵A，试证A + A'是对称矩阵。

对任意方阵A，试证$A + A'$是对称矩阵。

题目解答

答案

我们要证明：对任意方阵 $ A $，矩阵 $ A + A' $ 是对称矩阵。 --- ### 第一步：理解题意 - $ A $ 是一个 **方阵**，即行数和列数相等的矩阵。 - $ A' $ 表示 $ A $ 的 **转置矩阵**，即把 $ A $ 的行和列交换位置得到的矩阵。 - 对称矩阵的定义是：一个矩阵 $ M $，如果满足 $ M = M' $，则称 $ M $ 是对称矩阵。 我们要证明的是： $$ (A + A')' = A + A' $$ 即 $ A + A' $ 的转置等于它本身，因此它是对称矩阵。 --- ### 第二步：使用转置的性质 矩阵转置有以下性质： 1. $ (A + B)' = A' + B' $ 2. $ (A')' = A $ 我们来计算 $ (A + A')' $： $$ (A + A')' = A' + (A')' = A' + A $$ 由于矩阵加法是交换的，所以： $$ A' + A = A + A' $$ 因此： $$ (A + A')' = A + A' $$ --- ### 第三步：得出结论 根据对称矩阵的定义，若一个矩阵等于它的转置，则它是对称矩阵。 我们已经证明： $$ (A + A')' = A + A' $$ 所以，**$ A + A' $ 是对称矩阵**。 --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{A + A' \text{ 是对称矩阵}} $$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵转置的性质及对称矩阵的定义，需要学生理解并运用转置运算的线性性质和对称矩阵的判定条件。

解题核心思路：

  1. 对称矩阵的定义：若矩阵$M$满足$M = M'$，则$M$是对称矩阵。
  2. 转置运算的性质：
    • 加法转置：$(A + B)' = A' + B'$
    • 转置的转置：$(A')' = A$
  3. 关键步骤：通过计算$(A + A')'$，结合上述性质，证明其等于$A + A'$本身。

破题关键点：

  • 正确应用转置运算的性质，将$(A + A')'$展开为$A' + (A')'$。
  • 利用转置的转置等于原矩阵，化简表达式。
  • 结合矩阵加法的交换律，最终得出结论。

证明过程：

  1. 计算$(A + A')'$
    根据转置运算的加法性质：
    $(A + A')' = A' + (A')'$

  2. 化简$(A')'$
    根据转置的转置性质：
    $(A')' = A$
    因此：
    $A' + (A')' = A' + A$

  3. 利用加法交换律
    矩阵加法满足交换律，即$A' + A = A + A'$，因此：
    $A' + A = A + A'$

  4. 结论
    综上，$(A + A')' = A + A'$，即$A + A'$等于其转置，故$A + A'$是对称矩阵。