判定下列二次型的正定性:-|||-(1) =-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1) x3;-|||-(2) =({x)_(1)}^2+3({x)_(2)}^2+9({x)_(3)}^2-2(x)_(1)(x)_(2)+4(x)_(1)(x)_(3)

二次型的正定性判定主要依据矩阵的顺序主子式符号规律：

• 正定：所有顺序主子式均大于0；
• 负定：奇数阶顺序主子式为负，偶数阶为正；
• 不定：若存在顺序主子式为0，或符号规律不符合上述两种情况。

本题需分别构造二次型的矩阵，计算各阶顺序主子式，判断符号规律。

第（1）题

二次型：$f = -2x_1^2 -6x_2^2 -4x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$

步骤1：写出矩阵$A$

二次型的矩阵$A$为：
$A = \begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 \\1 & -6 & 0 \\1 & 0 & -4\end{pmatrix}$

步骤2：计算顺序主子式

1. 1阶主子式：
   $|A_1| = -2 < 0$
2. 2阶主子式：
   $|A_2| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -6 \end{vmatrix} = (-2)(-6) - (1)(1) = 11 > 0$
3. 3阶主子式：
   $|A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -38 < 0$

步骤3：判断正定性

• 奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，符合负定条件。

第（2）题

二次型：$f = x_1^2 + 3x_2^2 + 9x_3^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3$

步骤1：写出矩阵$A$

二次型的矩阵$A$为：
$A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\-1 & 3 & 0 \\2 & 0 & 9\end{pmatrix}$

步骤2：计算顺序主子式

1. 1阶主子式：
   $|A_1| = 1 > 0$
2. 2阶主子式：
   $|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(-1) = 2 > 0$
3. 3阶主子式：
   $|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 9 \end{vmatrix} = 6 > 0$

步骤3：判断正定性

• 所有顺序主子式均大于0，符合正定条件。