已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直，求a的值：(1)4ax+y=1， (1-a)x+y=-1;(2)2x+ay=2， ax+2y=1;(3)(3a+2)x+(1-4a)y+8=0， (5a-2)x+(a+4)y-7=0.

考查要点：本题主要考查直线垂直的条件，即两条直线的斜率乘积为$-1$，或通过一般式系数满足$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$。

解题思路：

1. 斜率法：将直线方程化为斜截式$y = kx + b$，计算斜率$k$，利用$k_1 \cdot k_2 = -1$列方程求解。
2. 一般式系数法：直接利用一般式$A_1x + B_1y + C_1 = 0$和$A_2x + B_2y + C_2 = 0$的垂直条件$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$列方程求解。

关键点：

• 斜率不存在的情况（如直线垂直于x轴或y轴）需单独讨论。
• 代数运算的准确性，尤其是展开和合并同类项时需仔细。

第（1）题

1. 求斜率：
   • 直线$4ax + y = 1$化为$y = -4ax + 1$，斜率为$k_1 = -4a$。
   • 直线$(1 - a)x + y = -1$化为$y = (a - 1)x - 1$，斜率为$k_2 = a - 1$。
2. 垂直条件：$k_1 \cdot k_2 = -1$，即$(-4a)(a - 1) = -1$。
3. 解方程：
   $-4a(a - 1) = -1 \implies 4a^2 - 4a - 1 = 0$
   解得：
   $a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

第（2）题

1. 讨论$a = 0$：
   • 方程$2x = 2$为垂直于x轴的直线，方程$2y = 1$为水平直线，二者垂直。
2. 讨论$a \neq 0$：
   • 直线$2x + ay = 2$化为$y = -\frac{2}{a}x + \frac{2}{a}$，斜率为$k_1 = -\frac{2}{a}$。
   • 直线$ax + 2y = 1$化为$y = -\frac{a}{2}x + \frac{1}{2}$，斜率为$k_2 = -\frac{a}{2}$。
   • 垂直条件：$k_1 \cdot k_2 = -1$，即$\left(-\frac{2}{a}\right)\left(-\frac{a}{2}\right) = 1 \neq -1$，矛盾。
3. 结论：仅当$a = 0$时两直线垂直。

第（3）题

1. 一般式系数法：
   • 直线$(3a + 2)x + (1 - 4a)y + 8 = 0$的系数为$A_1 = 3a + 2$，$B_1 = 1 - 4a$。
   • 直线$(5a - 2)x + (a + 4)y - 7 = 0$的系数为$A_2 = 5a - 2$，$B_2 = a + 4$。
2. 垂直条件：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$，即：
   $(3a + 2)(5a - 2) + (1 - 4a)(a + 4) = 0$
3. 展开并化简：
   $15a^2 + 4a - 4 + (-4a^2 - 15a + 4) = 11a^2 - 11a = 0$
   解得：
   $a = 0 \quad \text{或} \quad a = 1$