6.19 一半径为a的"无限长"圆柱形导体,单位长度带电荷为λ。其外套一层各向同-|||-性均匀电介质,其相对介电常量为en,外半径分别为a和b。-|||-试求电位移和场强的分布。

考查要点：本题主要考查电位移场强在有介质存在时的分布规律，需结合高斯定理和介质中的电场关系进行分析。

解题核心思路：

1. 电位移D的确定：根据高斯定理，D仅与自由电荷有关，与介质无关。通过不同区域的自由电荷分布，分段计算D。
2. 场强E的确定：在介质中，E由D和介质的相对介电常量决定，需分段考虑介质的存在对E的影响。

破题关键点：

• 导体内部（r < a）：导体内部无自由电荷，D=0，场强E=0。
• 电介质层（a ≤ r ≤ b）：自由电荷仅在r=a处，D由高斯定理确定，E需结合介质的介电常量计算。
• 电介质外（r > b）：无介质存在，E由D直接决定。

区域划分与分析

1. r < a（导体内部）：

   • 导体内部无自由电荷，根据高斯定理，D=0。
   • 导体内部场强E=0（良导体内部电场为零）。

2. a ≤ r ≤ b（电介质层）：

   • 高斯面包围的自由电荷为λL，由高斯定理得：
     $D = \frac{\lambda}{2\pi r} \mathbf{r}_0$
   • 介质中E与D的关系为：
     $\mathbf{E}_1 = \frac{\mathbf{D}}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r} \mathbf{r}_0$

3. r > b（电介质外）：

   • 高斯面仍包围自由电荷λL，D与电介质层相同：
     $D = \frac{\lambda}{2\pi r} \mathbf{r}_0$
   • 无介质时，E由D直接决定：
     $\mathbf{E}_2 = \frac{\mathbf{D}}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} \mathbf{r}_0$