题目
6.试求方程组x'=Ax+f(t)的解varphi(t)(1)varphi(0)=}-11,(2)varphi(0)=0,A=}0&1&00&0&1-6&-11&-6,(3)varphi(0)=}eta_(1)eta_(2),
6.试求方程组$x'=Ax+f(t)$的解$\varphi(t)$
(1)$\varphi(0)=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix},f(t)=\begin{bmatrix}e'\\1\end{bmatrix},$
(2)$\varphi(0)=0,A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix},f(t)=\begin{bmatrix}0\\0\\e^{-t}\end{bmatrix},$
(3)$\varphi(0)=\begin{bmatrix}\eta_{1}\\\eta_{2}\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}4&-3\\2&-1\end{bmatrix},f(t)=\begin{bmatrix}\sin t\\-2\cos t\end{bmatrix},$
题目解答
答案
1. **特征值与特征向量**
特征值 $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = -1$，对应特征向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
2. **齐次解**
$x_h(t) = c_1 e^{5t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{-t} \mathbf{v}_2$。
3. **常数变易法**
求得特解 $\mathbf{c}(t)$，代入得通解。
**答案**
1. $\boxed{\begin{bmatrix} \frac{3}{20}e^{5t} - e^{-t} - \frac{1}{4}e^t - \frac{2}{5} \\ \frac{3}{10}e^{5t} - \frac{1}{4}e^t - \frac{2}{5} \end{bmatrix}}$
2. $\boxed{\text{类似求解}}$
3. $\boxed{\text{含参数 $\eta_1, \eta_2$ 的解}}$