题目
一批口罩共有20件，其中N95类型8件，医用外科类型口罩12件．现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件类型相同的概率．
一批口罩共有20件，其中N95类型8件，医用外科类型口罩12件．现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件类型相同的概率．
题目解答
答案
解：从20件中取出3件的总情况为${C}_{20}^{3}=1140$，
①当取出的两件相同的为N95的情况为${{C}_{8}^{2}C}_{12}^{1}$=336，
②当取出的两件相同的为医用外科类型口罩的情况为${{C}_{8}^{1}C}_{12}^{2}$=528，
故取出的产品中恰有两件类型相同的概率为：$P=\frac{336+528}{1140}=\frac{72}{95}$
①当取出的两件相同的为N95的情况为${{C}_{8}^{2}C}_{12}^{1}$=336，
②当取出的两件相同的为医用外科类型口罩的情况为${{C}_{8}^{1}C}_{12}^{2}$=528，
故取出的产品中恰有两件类型相同的概率为：$P=\frac{336+528}{1140}=\frac{72}{95}$
解析
步骤 1：计算总情况数
从20件口罩中任取3件的总情况数为组合数${C}_{20}^{3}$，计算公式为${C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，代入n=20，m=3，得到${C}_{20}^{3}=\frac{20!}{3!(20-3)!}=1140$。
步骤 2：计算两件N95类型口罩和一件医用外科类型口罩的情况数
从8件N95类型口罩中任取2件的组合数为${C}_{8}^{2}$，从12件医用外科类型口罩中任取1件的组合数为${C}_{12}^{1}$，两者相乘得到${C}_{8}^{2}{C}_{12}^{1}=336$。
步骤 3：计算两件医用外科类型口罩和一件N95类型口罩的情况数
从12件医用外科类型口罩中任取2件的组合数为${C}_{12}^{2}$，从8件N95类型口罩中任取1件的组合数为${C}_{8}^{1}$，两者相乘得到${C}_{12}^{2}{C}_{8}^{1}=528$。
步骤 4：计算恰有两件类型相同的概率
将步骤2和步骤3得到的情况数相加，得到恰有两件类型相同的总情况数为336+528=864。将此数除以步骤1得到的总情况数1140，得到概率$P=\frac{864}{1140}=\frac{72}{95}$。
从20件口罩中任取3件的总情况数为组合数${C}_{20}^{3}$，计算公式为${C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，代入n=20，m=3，得到${C}_{20}^{3}=\frac{20!}{3!(20-3)!}=1140$。
步骤 2：计算两件N95类型口罩和一件医用外科类型口罩的情况数
从8件N95类型口罩中任取2件的组合数为${C}_{8}^{2}$，从12件医用外科类型口罩中任取1件的组合数为${C}_{12}^{1}$，两者相乘得到${C}_{8}^{2}{C}_{12}^{1}=336$。
步骤 3：计算两件医用外科类型口罩和一件N95类型口罩的情况数
从12件医用外科类型口罩中任取2件的组合数为${C}_{12}^{2}$，从8件N95类型口罩中任取1件的组合数为${C}_{8}^{1}$，两者相乘得到${C}_{12}^{2}{C}_{8}^{1}=528$。
步骤 4：计算恰有两件类型相同的概率
将步骤2和步骤3得到的情况数相加，得到恰有两件类型相同的总情况数为336+528=864。将此数除以步骤1得到的总情况数1140，得到概率$P=\frac{864}{1140}=\frac{72}{95}$。