题目
18.已知y=e^3x,y=e^x+e^3x,y=e^2x+e^3x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解，求该微分方程.
18.已知$y=e^{3x},y=e^{x}+e^{3x},y=e^{2x}+e^{3x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解，求该微分方程.
题目解答
答案
已知三个特解 $y_1 = e^{3x}$，$y_2 = e^x + e^{3x}$，$y_3 = e^{2x} + e^{3x}$，计算差值得齐次解：
\[ y_2 - y_1 = e^x, \quad y_3 - y_1 = e^{2x}. \]
特征根为 $r = 1$ 和 $r = 2$，特征方程为：
\[ (r-1)(r-2) = r^2 - 3r + 2 = 0. \]
齐次方程为：
\[ y'' - 3y' + 2y = 0. \]
将 $y_1 = e^{3x}$ 代入非齐次方程：
\[ y_1' = 3e^{3x}, \quad y_1'' = 9e^{3x}, \]
得：
\[ 9e^{3x} - 9e^{3x} + 2e^{3x} = f(x) \Rightarrow f(x) = 2e^{3x}. \]
因此，所求微分方程为：
\[ \boxed{y'' - 3y' + 2y = 2e^{3x}}. \]
解析
考查要点：本题主要考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法，重点在于利用特解构造齐次方程并确定非齐次项。
解题核心思路：
- 利用特解差求齐次方程：非齐次方程的任意两个特解之差是对应的齐次方程的解。通过计算特解之间的差值，可得到齐次方程的两个线性无关解，进而确定特征方程。
- 构造非齐次项：将已知特解代入微分方程，结合齐次方程的形式，解出非齐次项$f(x)$。
破题关键点：
- 识别齐次解：通过$y_2 - y_1 = e^x$和$y_3 - y_1 = e^{2x}$，确定齐次方程的特征根为$r=1$和$r=2$。
- 代入特解求非齐次项：选择特解$y_1 = e^{3x}$代入方程，计算$f(x)$。
步骤1：求齐次方程的特征方程
- 计算特解差：
$y_2 - y_1 = e^x, \quad y_3 - y_1 = e^{2x}$
这表明齐次方程的两个解为$e^x$和$e^{2x}$，对应特征根$r=1$和$r=2$。 - 构造特征方程：
$(r-1)(r-2) = r^2 - 3r + 2 = 0$
对应的齐次方程为：
$y'' - 3y' + 2y = 0$
步骤2：确定非齐次项$f(x)$
- 代入特解$y_1 = e^{3x}$：
$y_1' = 3e^{3x}, \quad y_1'' = 9e^{3x}$ - 代入方程$y'' - 3y' + 2y = f(x)$：
$9e^{3x} - 3 \cdot 3e^{3x} + 2e^{3x} = f(x) \implies 2e^{3x} = f(x)$
步骤3：写出完整方程
综合齐次方程和非齐次项，得：
$y'' - 3y' + 2y = 2e^{3x}$