题目
12. (2.0分) lim_(xto0)(sin x)/(x) 的值是? A. 0 B. 不存在 C. -1 D. 1
12. (2.0分) $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ 的值是?
A. 0
B. 不存在
C. -1
D. 1
A. 0
B. 不存在
C. -1
D. 1
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 和 $x$ 是等价无穷小，即 $\sin x \sim x$。因此，
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.
\]
或者使用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1.
\]
故答案为 $\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是重要极限公式的应用，以及等价无穷小或洛必达法则的理解。
解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小，因此它们的比值的极限为1。此外，也可以通过洛必达法则直接求导后计算。
破题关键点：
- 等价无穷小替换：$\sin x \sim x$（当$x \to 0$时）。
- 洛必达法则：适用于$\frac{0}{0}$型不定式，对分子分母分别求导后求极限。
方法一：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小，即$\sin x \sim x$。因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.$
方法二：洛必达法则
由于$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$且$\lim_{x \to 0} x = 0$，满足$\frac{0}{0}$型不定式，可对分子分母分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1.$