设随机变量X与Y相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布,-|||-则 ((X)^2+(Y)^2leqslant 1)= () .-|||-(A) dfrac (1)(4) (B) dfrac (1)(2) (C) dfrac (pi )(8) (D) dfrac (pi )(4)

步骤 1：确定X和Y的概率密度函数
由于X和Y都服从(0,1)上的均匀分布，它们的概率密度函数分别为：
${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$
${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt y\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$
步骤 2：确定联合概率密度函数
由于X和Y相互独立，它们的联合概率密度函数为：
$f(x,y)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x,y\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$
步骤 3：计算概率 $P({X}^{2}+{Y}^{2}\leqslant 1)$
根据二重积分的几何意义，$P({X}^{2}+{Y}^{2}\leqslant 1)$ 等于单位圆在第一象限的部分的面积，即：
$P({X}^{2}+{Y}^{2}\leqslant 1)={\iint }_{D}f(x,y)dxdy=\dfrac {\pi }{4}$
其中D表示单位圆在第一象限的部分。