1、设 =ln (arctan sqrt (1+{x)^2}) 求dy;

本题考查复合函数求微分 $dy$，核心是利用复合函数求导法则（链式法则）逐步计算导数，再乘以 $dx$ 得到 $dy$。

步骤步骤1：分解复合函数

给定 $y = \ln(\arctan\sqrt{1+x^2})$，可分解为以下三层复合关系：
设 $y = \ln u$，$u = \arctan v$，$v = \sqrt{w\}^\frac{1}{2} = \sqrt{w}$，$w = 1+x^2$。

步骤：逐层求导

根据链式法则 $y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}}$：

1. $\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$（$y = \ln u$ 的导数）；
2. $\frac{du}{dv} = \frac{1}{1+v^2}$（$u = \arctan v$ 的导数）；
3. $\frac{dv}{dw} = \frac{1}{2\sqrt{w}}$（$v = \sqrt{w\}^\frac{1}{2}$ 的导数）；
4. $\frac{dw}{dx} = 2 \$。

步骤：代入化简

将各导数代入链式法则：
$y' = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{1+v^2}cdot \frac{1}{2\sqrt{w}}cdot 2x$

-回代变量（$u = \arctan\sqrt{1+x^2}$，$v = \sqrt{1+x^2\}^\frac{1}{2}$，$w = 1+x^2$）：
$y' = \frac{1}{\arctan\sqrt{1+x^2}}cdot \frac{1}{1+(\sqrt{1+x^2})}cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}cdot 2x$
化简分母 $1+(\sqrt{1+x^2})^2 = 1+(1+x^2) = 2+x^2$，分子 $2x$（$2$ 约掉）：
$y' = \frac{x}{(\arctan\sqrt{1+x^2)(2+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

步骤：写出 $dy$

$1) \( dy = y'dx$，故：
$dy = \frac{x}{\arctan\sqrt{1+x^2}cdot (2+x^2)cdot \sqrt{1+x^2}} dx$