设X的概率密度函数为varphi(x)=(1)/(2)e^-|x|(-inftyA. 1-(1)/(2)e^xB. 1-(1)/(2)e^-xC. (1)/(2)e^-xD. (1)/(2)e^x

考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系，以及绝对值函数在积分中的处理。

解题核心思路：
分布函数$F(x)$是概率密度函数$\varphi(x)$的积分，即$F(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t) \, dt$。由于题目中$\varphi(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}$，当$x < 0$时，需注意绝对值函数$|t|$的展开形式，从而正确计算积分。

破题关键点：

1. 当$x < 0$时，积分区间为$(-\infty, x)$，此时$t < 0$，故$|t| = -t$，原密度函数变为$\frac{1}{2}e^{t}$。
2. 正确计算积分$\int_{-\infty}^x \frac{1}{2}e^{t} \, dt$，并验证结果是否符合分布函数的性质（如$x \to -\infty$时$F(x) \to 0$，$x \to +\infty$时$F(x) \to 1$）。

步骤1：写出分布函数的定义式
分布函数$F(x)$定义为：
$F(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t) \, dt = \int_{-\infty}^x \frac{1}{2}e^{-|t|} \, dt.$

步骤2：处理绝对值函数
当$x < 0$时，积分区间内$t < 0$，因此$|t| = -t$，代入得：
$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{2}e^{t} \, dt.$

步骤3：计算积分
积分$\int \frac{1}{2}e^{t} \, dt$的原函数为$\frac{1}{2}e^{t}$，代入上下限：
$F(x) = \left. \frac{1}{2}e^{t} \right|_{-\infty}^x = \frac{1}{2}e^{x} - \frac{1}{2} \cdot \lim_{t \to -\infty} e^{t}.$
由于$\lim_{t \to -\infty} e^{t} = 0$，最终结果为：
$F(x) = \frac{1}{2}e^{x}.$

步骤4：验证合理性

• 当$x = 0$时，$F(0) = \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}$，符合对称性（因密度函数关于$y$轴对称）。
• 当$x \to -\infty$时，$F(x) \to 0$；当$x \to +\infty$时，积分结果为$1$，符合分布函数性质。