题目
73 方程y'=1+x+y²+xy²的通解为_____.
73 方程y'=1+x+y²+xy²的通解为_____.
题目解答
答案
为了求解微分方程 $ y' = 1 + x + y^2 + xy^2 $ 的通解，我们可以按照以下步骤进行：
1. **简化方程**:
首先，观察方程的右边，可以将相似项合并：
\[
y' = 1 + x + y^2 + xy^2 = (1 + x) + (1 + x)y^2 = (1 + x)(1 + y^2)
\]
2. **分离变量**:
将方程改写为分离变量的形式，即把 $ y $ 和 $ x $ 分别放在等式的一边：
\[
\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)
\]
\[
\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x) \, dx
\]
3. **两边积分**:
对等式两边分别积分：
\[
\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) \, dx
\]
左边的积分是 $ \arctan(y) $ 的导数，右边的积分是一个多项式：
\[
\arctan(y) = x + \frac{x^2}{2} + C
\]
其中 $ C $ 是积分常数。
4. **解出 $ y $**:
为了得到 $ y $ 的显式解，我们对等式两边取正切：
\[
y = \tan\left(x + \frac{x^2}{2} + C\right)
\]
因此，微分方程 $ y' = 1 + x + y^2 + xy^2 $ 的通解为：
\[
\boxed{y = \tan\left(x + \frac{x^2}{2} + C\right)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，重点在于对方程进行因式分解和变量分离，进而通过积分求解通解。
解题核心思路：
- 观察方程结构，尝试将右边表达式分解为关于$x$和$y$的乘积形式。
- 分离变量，将方程改写为$\frac{dy}{1+y^2} = (1+x)dx$，使变量$x$和$y$分别位于等式两边。
- 积分求解，利用标准积分公式分别计算两边积分，最后通过反三角函数表达通解。
破题关键点：
- 因式分解是关键步骤，需识别出$(1+x)(1+y^2)$的结构。
- 分离变量后，正确选择积分方法，注意积分常数的引入。
步骤1：因式分解
原方程为：
$y' = 1 + x + y^2 + xy^2$
将右边表达式分组并提取公因式：
$y' = (1 + x) + y^2(1 + x) = (1 + x)(1 + y^2)$
步骤2：分离变量
将方程改写为：
$\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)$
两边同时除以$(1 + y^2)$，得到：
$\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x)dx$
步骤3：积分求解
对两边分别积分：
- 左边积分：$\int \frac{1}{1 + y^2} dy = \arctan(y) + C_1$
- 右边积分：$\int (1 + x) dx = x + \frac{x^2}{2} + C_2$
合并常数项，得到：
$\arctan(y) = x + \frac{x^2}{2} + C$
（其中$C = C_2 - C_1$为积分常数）
步骤4：解出$y$
对等式两边取正切函数：
$y = \tan\left(x + \frac{x^2}{2} + C\right)$