题目
3.设微分方程 ^n+P(x)y'+Q(x)y=f(x) 有三个线性无关的解y1,y2,y3,-|||-c1,c2为任意常数,则该方程的通解为 ()-|||-A. _(1)(y)_(1)+(c)_(2)(y)_(2)+(y)_(3) B. _(1)(y)_(1)+(c)_(2)(y)_(2)-((c)_(1)+(c)_(2))(y)_(3)-|||-C. _(1)(y)_(1)+(c)_(2)(y)_(2)-(1-(c)_(1)-(c)_(2))(y)_(3) D. _(1)(y)_(1)+(c)_(2)(y)_(2)+(1-(c)_(1)-(c)_(2))(y)_(3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解微分方程的通解
微分方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的通解由其对应的齐次方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ 的通解加上非齐次方程的一个特解组成。由于题目中给出三个线性无关的解 $y_1, y_2, y_3$，则 $y_1, y_2$ 可以作为齐次方程的两个线性无关解，而 $y_3$ 可以作为非齐次方程的一个特解。
步骤 2：构造通解
齐次方程的通解形式为 $c_1y_1 + c_2y_2$，其中 $c_1, c_2$ 为任意常数。非齐次方程的通解形式为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，即 $c_1y_1 + c_2y_2 + y_3$。但题目要求的是三个线性无关解的线性组合，因此需要将 $y_3$ 以 $c_1, c_2$ 的形式表示出来，以确保通解的线性无关性。
步骤 3：确定通解的正确形式
由于 $y_1, y_2, y_3$ 是线性无关的，因此 $y_3$ 可以表示为 $y_3 = (1-c_1-c_2)y_3$，这样可以保证通解的线性无关性。因此，通解的形式为 $c_1y_1 + c_2y_2 + (1-c_1-c_2)y_3$。
微分方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的通解由其对应的齐次方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ 的通解加上非齐次方程的一个特解组成。由于题目中给出三个线性无关的解 $y_1, y_2, y_3$，则 $y_1, y_2$ 可以作为齐次方程的两个线性无关解，而 $y_3$ 可以作为非齐次方程的一个特解。
步骤 2：构造通解
齐次方程的通解形式为 $c_1y_1 + c_2y_2$，其中 $c_1, c_2$ 为任意常数。非齐次方程的通解形式为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，即 $c_1y_1 + c_2y_2 + y_3$。但题目要求的是三个线性无关解的线性组合，因此需要将 $y_3$ 以 $c_1, c_2$ 的形式表示出来，以确保通解的线性无关性。
步骤 3：确定通解的正确形式
由于 $y_1, y_2, y_3$ 是线性无关的，因此 $y_3$ 可以表示为 $y_3 = (1-c_1-c_2)y_3$，这样可以保证通解的线性无关性。因此，通解的形式为 $c_1y_1 + c_2y_2 + (1-c_1-c_2)y_3$。