题目
(4)int_(1)^4(ln x)/(sqrt(x))dx;
(4)$\int_{1}^{4}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx;$
题目解答
答案
设 $u = \ln x$，$dv = \frac{1}{\sqrt{x}}dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = 2\sqrt{x}$。
分部积分得：
\[
\int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx = \left[2\sqrt{x}\ln x\right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2\sqrt{x}}{x}dx
\]
计算得：
\[
\left[2\sqrt{x}\ln x\right]_{1}^{4} = 8\ln 2, \quad \int_{1}^{4} \frac{2}{\sqrt{x}}dx = 4
\]
结果为：
\[
8\ln 2 - 4 = 4(2\ln 2 - 1)
\]
**答案：** $\boxed{8\ln 2 - 4}$