题目
已知函数(t)=(e)^-t,tgeqslant 0, 其Fourier积分公式成立.A.对B.错
已知函数
, 其Fourier积分公式成立.
A.对
B.错
题目解答
答案
由于
,
即
在
上绝对可积, 且在
0" data-width="53" data-height="22" data-size="867" data-format="png" style="max-width:100%">处有有限导数.
故其Fourier积分公式成立.
综上所述, 答案选(A).
解析
步骤 1：确定函数$f(t)={e}^{-t}$的绝对可积性
函数$f(t)={e}^{-t}$在$t\geqslant 0$的区间上是连续的，且其绝对值$|f(t)|={e}^{-t}$在该区间上也是连续的。为了确定其绝对可积性，我们需要计算积分$\int_{0}^{+\infty}|f(t)|dt$，即$\int_{0}^{+\infty}{e}^{-t}dt$。
步骤 2：计算积分$\int_{0}^{+\infty}{e}^{-t}dt$
$\int_{0}^{+\infty}{e}^{-t}dt = -{e}^{-t}{|}_{0}^{+\infty} = -{e}^{-\infty} + {e}^{0} = 0 + 1 = 1$。
步骤 3：验证函数$f(t)={e}^{-t}$在$t=0$处的导数
函数$f(t)={e}^{-t}$在$t=0$处的导数为$f'(t)=-{e}^{-t}$，在$t=0$处的值为$f'(0)=-{e}^{0}=-1$，是一个有限值。
步骤 4：根据Fourier积分公式成立的条件
根据Fourier积分公式成立的条件，函数$f(t)$在$(0,+\infty)$上绝对可积，且在$t=0$处有有限导数。由于$f(t)={e}^{-t}$满足这些条件，因此其Fourier积分公式成立。
函数$f(t)={e}^{-t}$在$t\geqslant 0$的区间上是连续的，且其绝对值$|f(t)|={e}^{-t}$在该区间上也是连续的。为了确定其绝对可积性，我们需要计算积分$\int_{0}^{+\infty}|f(t)|dt$，即$\int_{0}^{+\infty}{e}^{-t}dt$。
步骤 2：计算积分$\int_{0}^{+\infty}{e}^{-t}dt$
$\int_{0}^{+\infty}{e}^{-t}dt = -{e}^{-t}{|}_{0}^{+\infty} = -{e}^{-\infty} + {e}^{0} = 0 + 1 = 1$。
步骤 3：验证函数$f(t)={e}^{-t}$在$t=0$处的导数
函数$f(t)={e}^{-t}$在$t=0$处的导数为$f'(t)=-{e}^{-t}$，在$t=0$处的值为$f'(0)=-{e}^{0}=-1$，是一个有限值。
步骤 4：根据Fourier积分公式成立的条件
根据Fourier积分公式成立的条件，函数$f(t)$在$(0,+\infty)$上绝对可积，且在$t=0$处有有限导数。由于$f(t)={e}^{-t}$满足这些条件，因此其Fourier积分公式成立。