20.设O是A,B的连线以外的一点,证明A,B,C三点共线的充分必要条件是overrightarrow(OC)=lambda overrightarrow(OA)+mu overrightarrow(OB),其中lambda +mu =1.例1 试用向量证明三角形的余弦定理.

**必要性：** 若 $A, B, C$ 共线，则存在实数 $k$ 使得 $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$。 \[ \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = k(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \implies \overrightarrow{OC} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB} \] 令 $\lambda = 1-k$，$\mu = k$，则 $\lambda + \mu = 1$，满足条件。 **充分性：** 若 $\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$ 且 $\lambda + \mu = 1$，则 \[ \overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + (1-\lambda)\overrightarrow{OB} \implies \overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{BA} \] $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 平行，故 $A, B, C$ 共线。 **结论：** $A, B, C$ 共线的充要条件为 $\boxed{\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, \lambda + \mu = 1}$。