15.设函数 =f(x+y,(e)^xy), 其中f具有二阶连续偏导数,求 a^2/ax, dfrac ({sigma )^2z}(partial {{x)^2}

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，特别是二阶偏导数的求解，需要熟练应用链式法则和乘积法则。

解题核心思路：

1. 一阶偏导数：通过链式法则，分别对中间变量$u=x+y$和$v=e^{xy}$求导，再与$f$对$u$、$v$的偏导数相乘后相加。
2. 二阶偏导数：对一阶偏导数的结果再次求导，注意区分对$u$和$v$的导数，并正确应用乘积法则展开各项。

破题关键点：

• 中间变量的导数：明确$u$和$v$对$x$的导数分别为$1$和$y e^{xy}$。
• 二阶导数的展开：对乘积项（如$y e^{xy} f_2$）需分步求导，避免遗漏项。

一阶偏导数$\dfrac{\partial z}{\partial x}$

根据链式法则：
$\begin{aligned}\dfrac{\partial z}{\partial x} &= \dfrac{\partial f}{\partial u} \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial v} \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x} \\&= f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot y e^{xy} \\&= f_1 + y e^{xy} f_2\end{aligned}$

二阶偏导数$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$

对$\dfrac{\partial z}{\partial x}$再次求导：

1. 对$f_1$求导：
   $\dfrac{\partial}{\partial x}(f_1) = f_{11} \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x} + f_{12} \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x} = f_{11} + y e^{xy} f_{12}$

2. 对$y e^{xy} f_2$求导（乘积法则）：

   • 第一部分：对$y e^{xy}$求导：
     $\dfrac{\partial}{\partial x}(y e^{xy}) = y \cdot y e^{xy} = y^2 e^{xy}$
   • 第二部分：对$f_2$求导：
     $\dfrac{\partial}{\partial x}(f_2) = f_{21} \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x} + f_{22} \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x} = f_{21} + y e^{xy} f_{22}$
   • 整体结果：
     $y e^{xy} \cdot (f_{21} + y e^{xy} f_{22}) = y e^{xy} f_{21} + y^2 e^{2xy} f_{22}$

3. 合并所有项：
   $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{11} + y e^{xy} f_{12} + y^2 e^{xy} f_2 + y e^{xy} f_{21} + y^2 e^{2xy} f_{22}$

4. 简化（若$f_{12}=f_{21}$）：
   $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{11} + 2 y e^{xy} f_{12} + y^2 e^{xy} f_2 + y^2 e^{2xy} f_{22}$