题目

(8)intcos^3xdx;

(8)$\int\cos^{3}xdx;$

题目解答

答案

\[ \begin{aligned} \int \cos^3 x \, dx &= \int \cos^2 x \cos x \, dx \\ &= \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \\ &\xrightarrow{t = \sin x, \, dt = \cos x \, dx} \int (1 - t^2) \, dt \\ &= t - \frac{t^3}{3} + C \\ &= \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C. \end{aligned} \] 或者使用恒等式 $\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos 3x}{4}$： \[ \begin{aligned} \int \cos^3 x \, dx &= \int \frac{3 \cos x + \cos 3x}{4} \, dx \\ &= \frac{3}{4} \sin x + \frac{1}{12} \sin 3x + C \\ &= \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C. \end{aligned} \] **答案：** $\boxed{\sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C}$

解析

考查要点：本题主要考查三角函数的不定积分，特别是对高次幂余弦函数的积分方法。需要掌握分部积分法或三角恒等式降幂的技巧。

解题核心思路：

  1. 拆分幂次：将$\cos^3 x$拆分为$\cos^2 x \cdot \cos x$，利用$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$进行变量替换。
  2. 三角恒等式：直接使用$\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos 3x}{4}$，将高次幂转化为一次项和三次项的组合，简化积分过程。

破题关键点：

  • 选择合适的替换变量（如$t = \sin x$）或正确应用三角恒等式是解题的核心。

方法一：变量替换法

  1. 拆分幂次：
    $\int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cdot \cos x \, dx.$
  2. 利用恒等式：
    将$\cos^2 x$替换为$1 - \sin^2 x$：
    $\int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx.$
  3. 变量替换：
    设$t = \sin x$，则$dt = \cos x \, dx$，积分变为：
    $\int (1 - t^2) \, dt.$
  4. 积分并回代：
    $t - \frac{t^3}{3} + C = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C.$

方法二：三角恒等式法

  1. 应用恒等式：
    $\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos 3x}{4}.$
  2. 拆分积分：
    $\int \frac{3 \cos x + \cos 3x}{4} \, dx = \frac{3}{4} \int \cos x \, dx + \frac{1}{4} \int \cos 3x \, dx.$
  3. 逐项积分：
    $\frac{3}{4} \sin x + \frac{1}{12} \sin 3x + C.$
  4. 化简结果：
    利用$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$，可得：
    $\sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C.$