注 类似地，设数列(x_{n)}满足：x_(1)>0,x_(n)e^x_(n+1)=e^x_(n)-1(n=1,2,...).证明(x_{n)}收敛，并求极限lim_(ntoinfty)x_(n).(0)

由递推关系 $x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1$，可得 \[ e^{x_{n+1}} = \frac{e^{x_n} - 1}{x_n}. \] 取对数得 \[ x_{n+1} = \ln \left( \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} \right). \] 令 $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$，则 $f'(x) = \frac{(x-1)e^x + 1}{x^2}$。 对于 $x > 0$，$f'(x) > 0$，故 $f(x)$ 单调递增，从而 $x_{n+1} < x_n$，数列单调递减。 又 $x_1 > 0$，且 $e^{x_{n+1}} > 0$，故 $x_{n+1} > 0$，数列有下界0。 由单调有界数列收敛定理，设极限为 $a$，则 \[ a e^a = e^a - 1 \implies e^a(1-a) = 1. \] 解得 $a = 0$（唯一解），故极限为 $\boxed{0}$。