题目

int (x)^3(e)^-(x^2)dx=(,,,,,)A、dfrac(1)(2)(e)^-(x^2)((x)^2+1)+CB、-dfrac(1)(2)(e)^-(x^2)((x)^2+1)+CC、dfrac(1)(2)(e)^-(x^2)((x)^2-1)+CD、-dfrac(1)(2)(e)^-(x^2)((x)^2-1)+C

$\int {x}^{3}{e}^{-{x}^{2}}dx=$$\left(\,\,\,\,\,\right)$

$A、$$\dfrac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}}\left({x}^{2}+1\right)+C$

$B、$$-\dfrac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}}\left({x}^{2}+1\right)+C$

$C、$$\dfrac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}}\left({x}^{2}-1\right)+C$

$D、$$-\dfrac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}}\left({x}^{2}-1\right)+C$

题目解答

答案

解析

本题考查不定积分的分部积分法，，解题思路是先通过换元法简化被积函数，再利用分部积分公式$\int udv = uv - \int vdu$进行计算。

  1. 首先对$\int x^{3}e^{-x^{2}}dx$进行变形：

    • 因为$x^{3}dx=\frac{1}{2}x^{2}\cdot 2x$，且$d(-x^{2})=-2xdx$，所以$\int x^{3}e^{-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int x x^{2}e^{-x^{2}d(-x^{2})$。
    • 令$t = -x^{2}$，则$x^{2}=-t$，原式变为$-\frac{1}{2}\int (-t)e^{t}dt=\frac{1}{2}\int te^{t}}dt$。

  2. 然后使用分部积分法计算$\frac{1}{2}\int te^{t}dt$：

    • 设$u = t$，$dv = e^{t}dt$。
    • 根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$du = dt$；根据积分公式$\int e^{x}dx = e^{x}+C$，可得$v = e^{t}$。
    • 由分部积分公式$\int udv = uv - \int vdu$，则$\frac{1}{2}\int te^{t}dt=\frac{1}{2}(te^{t}-\int e^{t}dt)$。
      1. 接着计算$\int e^{t}dt$：
    • 根据积分公式$\int e^{x}dx = e^{x}+C$，可得$\int e^{t}dt = e^{t}+C$。
    • 所以$\(\frac{1}{2}(te^{t}-\int e^{t}dt)=\frac{1}{2}(te^{t}-e^{t})+C$。
    1. 最后将$t = -x^{2}$代回：
    • $\frac{1}{2}(te^{t}-e^{t})+C=\frac{1}{2}(-x^{2}e^{-x^{2}-e^{-x^{2}})+C$。
    • 提取公因式$-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}$，得到$-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}(x^{2}+1)+C$。