已知3阶方阵A,B,满足AB=A-B+E,则下列说法不正确的是( ).(A)若B≠E,则|A+E|=0(B)若A正定,则B=E(C)r(A+B)≤3(D)AB=BA
已知3阶方阵A,B,满足AB=A-B+E,则下列说法不正确的是( ).
(A)若B≠E,则|A+E|=0
(B)若A正定,则B=E
(C)r(A+B)≤3
(D)AB=BA
题目解答
答案
首先对 AB = A - B + E 进行移项变形可得：AB + B - A - E = 0，即(A + E)(B - E) = 0
选项 A：若 B ≠ E，则 B - E可逆，所以 A + E不可逆，即 |A + E| = 0，选项 A 正确。
选项 B：若 A 正定，则 A + E 正定，所以 A + E可逆。因为 (A + E)(B - E) = 0 且 A + E 可逆，所以 B - E = 0，即 B = E，选项 B 正确。
选项 C：因为A和B均为3阶方阵，所以r(A + B)≤ 3，选项 C 正确。
选项 D：由 AB = A - B + E不能直接得出 AB = BA，选项 D 不正确。
综上所述，说法不正确的是选项 D。
故答案是：D
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形、矩阵可逆性、秩的性质以及矩阵乘法的交换律。关键在于通过变形找到矩阵间的关系，并结合各选项的条件进行推导。
解题核心思路：
- 变形方程：将原方程 $AB = A - B + E$ 移项整理为 $(A + E)(B - E) = 0$，这是破题的关键。
- 分析各选项：
- 选项A：利用矩阵乘积为零的性质，结合 $B \neq E$ 时 $B - E$ 可逆，推出 $A + E$ 不可逆。
- 选项B：若 $A$ 正定，则 $A + E$ 正定且可逆，从而推出 $B = E$。
- 选项C：直接根据秩的定义，3阶方阵的秩不超过3。
- 选项D：通过反例或逻辑推导说明 $AB$ 与 $BA$ 不一定相等。
破题关键点：
- 变形后的方程 $(A + E)(B - E) = 0$ 是分析所有选项的基础。
- 矩阵可逆性与行列式、秩的关系是判断选项A、B、C的关键。
- 矩阵乘法的交换律需要具体条件支持，不能直接假设。
选项分析
选项A
若 $B \neq E$，则 $B - E \neq 0$。根据 $(A + E)(B - E) = 0$，若 $A + E$ 可逆，则两边左乘 $(A + E)^{-1}$ 得 $B - E = 0$，即 $B = E$，与假设矛盾。因此 $A + E$ 不可逆，即 $|A + E| = 0$，选项A正确。
选项B
若 $A$ 正定，则 $A + E$ 的所有特征值均大于1，故 $A + E$ 可逆。由 $(A + E)(B - E) = 0$，可得 $B - E = 0$，即 $B = E$，选项B正确。
选项C
$A + B$ 是3阶方阵，其秩不超过3，即 $r(A + B) \leq 3$，选项C正确。
选项D
原方程 $AB = A - B + E$ 无法直接推出 $AB = BA$。例如，若 $A + E$ 不可逆且存在非零的 $B - E$，则 $A$ 和 $B$ 可能不满足交换律。因此选项D不一定成立。