第二章机械能守恒定律部分习题2-1处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力F作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6m，顶端的高度为3.2m，F的大小为100N，物体的质量为12kg，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0 m，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力F、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？解物体受力情形如图2-3所示。力F所作的功 ；摩擦力 ,摩擦力所作的功 ；重力所作的功;支撑力N与物体的位移相垂直，不作功，即；这些功的代数和为 .物体所受合力为 ,合力的功为.这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。2-3物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49 ms2。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。解设机械手的推力为F沿水平方向，地面对物体的摩擦力为f，在这些力的作用下物体的加速度为a，根据________第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式 ,在上式两边同乘以v，得 ,上式左边第一项是推力的功率()。按题意，推力的功率P是摩擦力功率fv的二倍，于是有 .由上式得,又有 ,故可解得 .2-4有一斜面长5.0 m、顶端高3.0 m，今有一机械手将一个质量为1000 kg的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成30，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。解物体受力情况如图2-4所示。取x轴沿斜面向上，y轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程,(1),(2). (3)根据已知条件, .由式(2)得.将上式代入式(3)，得 .将上式代入式(1)得 ,由此解得 .推力F所作的功为.2-5有心力是力的方向指向某固定点(称为力心)、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力的作用(其中m和都是大于零的常量)，从rP到达rQ，求此有心力所作的功，其中rP和rQ是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。解根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图2-5，物体在运动过程中的任意点C处，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功为,所以，在物体从点P(位置矢量为rP)到达点Q(位置矢量为rQ)的过程中，f所作的总功为 .2-6马拉着质量为100 kg的雪撬以2.0 ms1的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为0.10。求马拉雪撬的功率。解设山坡的倾角为，则 .可列出下面的方程式 , , .式中m、F、f和N分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得, , .于是可以求得马拉雪橇的功率为 .2-7机车的功率为2.0106W，在满功率运行的情况下，在100 s内将列车由静止加速到20 ms1。若忽略摩擦力，试求：(1)列车的质量；(2)列车的速率与时间的关系；(3)机车的拉力与时间的关系；(4)列车所经过的路程。解(1)将________第二定律写为下面的形式, (1)用速度v点乘上式两边，得.式中Fv=P，是机车的功率，为一定值。对上式积分 ,即可得 ,将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为 .(2)利用上面所得到的方程式 ,就可以求得速度与时间的关系，为 . (2)(3)由式(2)得 ,将上式代入式(1)，得 ,由上式可以得到机车的拉力与时间的关系.(4)列车在这100秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有.2-8质量为m的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为f=v，其中是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻t0，球的速度为v0，试求：(1) t时刻球的运动速度v；(2)在从t0到t的时间内，黏性阻力所作的功A。解(1)根据已知条件，可以作下面的运算,式中 .于是可以得到下面的关系,对上式积分可得. (1)当t=t0时，v=v0，代入上式可得.将上式代入式(1)，得. (2)(2)在从t0到t的时间内，黏性阻力所作的功可以由下面的运算中得出 .2-9一个质量为30 g的子弹以500 ms1的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为20 cm处，求沙袋对子弹的平均阻力。解根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即,所以.2-10以200 N的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了5.0 m。若小车的质量为100 kg，小车运动时的摩擦系数为0.10，试用________运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。解设水平推力为F，摩擦力为f，行驶距离为s，小车的末速为v。(1)用牛顿运动定律求小车的末速v：列出下面的方程式, .两式联立求解，解得,将已知数值代入上式，得到小车的末速为.(2)用动能定理求小车的末速v：根据动能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示为 .由以上两式可解得,将已知数值代入上式，得小车的末速为.2-11质量m=100 g的小球被系在长度l=50.0 cm绳子的一端，绳子的另一端固定在点O，如图2-6所示。若将小球拉到P处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成= 60的点Q时，小球的速率v、绳子的张力T和小球从P到Q的过程中重力所作的功A。解取Q点的势能为零，则有,即,于是求得小球到达Q点时的速率为.设小球到达Q点时绳子的张力为T，则沿轨道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球从P到Q的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元ds，重力所作元功可表示为,式中是沿轨道切向所作位移元ds与竖直方向的夹角。小球从P到Q的过程中重力所作的总功可以由对上式的积分求得.2-12一辆重量为19.6103N的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为0.20，汽车开出100 m后的速率达到36 kmh1，如果摩擦系数为0.10，求汽车牵引力所作的功。解设汽车的牵引力为F，沿山坡向上，摩擦力为f，山坡的倾角为。将汽车自身看为一个系统，根据功能原理可以列出下面的方程式 , (1) ,.根据已知条件，可以得出，，汽车的质量以及。从方程(1)可以解得 .汽车牵引力所作的功为 ,将数值代入，得.2-13质量为1000 kg的汽车以36 kmh1的速率匀速行驶，摩擦系数为0.10。求在下面三种情况下发动机的功率：(1)在水平路面上行驶；(2)沿坡度为0.20的路面向上行驶；(3)沿坡度为0.20的路面向下行驶。解(1)设发动机的牵引力为F1，路面的摩擦力为f。因为汽车在水平路面上行驶，故可列出下面的方程式,, .解得 .所以发动机的功率为.(2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牵引力为F2，可列出下面的方程式 ,, .解得.发动机的功率为.(3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为F3，其方向与汽车行驶的方向相反。所列的运动方程为,所以,这时发动机的功率为 .2-14一个物体先沿着与水平方向成15角的斜面由静止下滑，然后继续在水平面上滑动。如果物体在水平面上滑行的距离与在斜面上滑行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数。解设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是l，斜面的倾角= 15，物体与地球组成的系统是我们研究的对象。物体所受重力是保守内力，支撑力N不作功，物体所受摩擦力是非保守内力，作负功。以平面为零势能面，根据功能原理可以列出下面的方程式,其中,,将它们代入上式，可得,所以.2-15有一个劲度系数为1200 Nm1的弹簧被外力压缩了5.6 cm，当外力撤除时将一个质量为0.42 kg的物体弹出，使物体沿光滑的曲面上滑，如图2-7所示。求物体所能到达的最大高度h。解将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象。这个系统没有外力的作用，同时由于曲面光滑，物体运动也没有摩擦力，即没有非保守内力的作用，故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状态的弹力势能应等于物体达到最大高度h时的重力势能，即,.2-18一个物体从半径为R的固定不动的光滑球体的顶点滑下，问物体离开球面时它下落的竖直距离为多大？解设物体的质量为m，离开球面时速度为v，此时它下落的竖直距离为h。对于由物体、球体和地球所组成的系统，没有外力和非保守内力的作用，机械能守恒，故有. (1)在物体离开球体之前，物体在球面上的运动过程中，应满足下面的关系, (2)式中N是球面对物体的支撑力，是物体所处位置到球体中心连线与竖直方向的夹角。在物体离开球体的瞬间，由图2-9可见,并且这时应有，于是式(2)成为,即.将上式代入式(1)，得 .2-19已知质量为m的质点处于某力场中位置矢量为r的地方，其势能可以表示为，其中k为常量。(1)画出势能曲线；(2)求质点所受力的形式；(3)证明此力是保守力。解(1)势能曲线如图2-10所示。(2)质点所受力的形式可如下求得.可见，质点所受的力是与它到力心的距离r的n+1次方成反比的斥力。(3)在这样的力场中，质点沿任意路径从点P移到点Q，它们的位置矢量分别为rP和rQ，该力所作的功为.这表明，该力所作的功只决定于质点的始末位置，而与中间路径无关，所以此力是保守力。2-20已知双原子分子中两原子的相互作用的势能函数可近似表示为 ,其中m和n都是大于零的常量，r是两原子中心的距离。试求：(1) r为何值时Ep(r)等于零？r为何值时Ep(r)为极小值？(2)原子之间的相互作用形式；(3)两原子相互作用为零时其中心的距离(即平衡位置)。解(1) ,即,由此解得 .Ep为极小值，要求当时, ,即,由此可解得.(2)原子之间相互作用力的形式为 .(3)在平衡位置处应有,.图2-11(a)和(b)分别画出了双原子分子中两原子的相互作用的势能函数和作用力的函数的示意图。