题目
199 设 f(x)= { ,xneq 0 0, x=0 . 则在区间 (-1,1) 上-|||-(A)f(x)与g (x)都存在原函数.-|||-(B)f(x)与g (x)都不存在原函数.-|||-(C)f(x)存在原函数,g(x)不存在原函数.-|||-(D)f(x)不存在原函数,g(x)存在原函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析f(x)的原函数存在性
f(x)在x=0处是分段函数，需要分别考虑x≥0和x<0的情况。在x≥0时，f(x)=x^2，其原函数为F(x)=1/3x^3+C1。在x<0时，f(x)=cos(x)，其原函数为F(x)=sin(x)+C2。由于f(x)在x=0处是间断点，需要检查原函数在x=0处是否连续。由于F(x)在x=0处的左极限和右极限相等，即C1=C2，因此F(x)在x=0处连续。但是，F(x)在x=0处不可导，因为F'(x)在x=0处的左导数和右导数不相等。因此，f(x)在(-1,1)上不存在原函数。
步骤 2：分析g(x)的原函数存在性
g(x)在x=0处是分段函数，需要分别考虑x≠0和x=0的情况。在x≠0时，g(x)=xsin(1/x)，其原函数为G(x)=-xcos(1/x)+sin(1/x)+C3。在x=0时，g(x)=0，其原函数为G(x)=C4。由于g(x)在x=0处是连续的，因此G(x)在x=0处连续。因此，g(x)在(-1,1)上存在原函数。
f(x)在x=0处是分段函数，需要分别考虑x≥0和x<0的情况。在x≥0时，f(x)=x^2，其原函数为F(x)=1/3x^3+C1。在x<0时，f(x)=cos(x)，其原函数为F(x)=sin(x)+C2。由于f(x)在x=0处是间断点，需要检查原函数在x=0处是否连续。由于F(x)在x=0处的左极限和右极限相等，即C1=C2，因此F(x)在x=0处连续。但是，F(x)在x=0处不可导，因为F'(x)在x=0处的左导数和右导数不相等。因此，f(x)在(-1,1)上不存在原函数。
步骤 2：分析g(x)的原函数存在性
g(x)在x=0处是分段函数，需要分别考虑x≠0和x=0的情况。在x≠0时，g(x)=xsin(1/x)，其原函数为G(x)=-xcos(1/x)+sin(1/x)+C3。在x=0时，g(x)=0，其原函数为G(x)=C4。由于g(x)在x=0处是连续的，因此G(x)在x=0处连续。因此，g(x)在(-1,1)上存在原函数。