题目
计算题4.解不等式：x^2-5x+6<0.（3分）
计算题
4.解不等式：$x^{2}-5x+6<0.$（3分）
题目解答
答案
将不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ 因式分解为 $(x-2)(x-3) < 0$。
分析乘积为负数的条件：
1. $x-2 > 0$ 且 $x-3 < 0$，解得 $2 < x < 3$；
2. $x-2 < 0$ 且 $x-3 > 0$，无解（矛盾）。
因此，解集为 $2 < x < 3$，用区间表示为 $\boxed{(2, 3)}$。
解析
考查要点：本题主要考查二次不等式的解法，涉及因式分解、数轴标根法及不等式符号分析。
解题核心思路：
- 因式分解：将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，确定不等式对应的方程的根。
- 符号分析：根据二次函数的图像开口方向及根的位置，判断各区间的符号，确定满足不等式的区间。
- 关键点：明确乘积为负数的条件是两因子一正一负，结合数轴分区间讨论。
步骤1：因式分解
将不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ 分解为：
$(x-2)(x-3) < 0.$
此时方程的根为 $x=2$ 和 $x=3$。
步骤2：划分区间并分析符号
根 $x=2$ 和 $x=3$ 将数轴分为三个区间：
- 当 $x < 2$ 时：
- $x-2 < 0$，$x-3 < 0$，乘积为正，不满足不等式。
- 当 $2 < x < 3$ 时：
- $x-2 > 0$，$x-3 < 0$，乘积为负，满足不等式。
- 当 $x > 3$ 时：
- $x-2 > 0$，$x-3 > 0$，乘积为正，不满足不等式。
步骤3：确定解集
唯一满足不等式的区间为 $2 < x < 3$，即解集为 $(2, 3)$。