题目

求下列函数的自然定义域：(1)y=sqrt(3x+2)；(2)y=dfrac(1)(1-{x)^2}；(3)y=dfrac(1)(x)-sqrt(1-(x)^2)；(4)y=dfrac(1)(sqrt(4-{x)^2)}；(5)y=sin sqrt(x)；(6)y=tan (x+1)；(7)y=arcsin (x-3)；(8)y=sqrt(3-x)+arctan dfrac(1)(x)；(9)y=ln (x+1)；(10)y=(e)^dfrac(1{x)}.

求下列函数的自然定义域：

$\left(1\right)y=\sqrt{3x+2}$；

$\left(2\right)y=\dfrac{1}{1-{x}^{2}}$；

$\left(3\right)y=\dfrac{1}{x}-\sqrt{1-{x}^{2}}$；

$\left(4\right)y=\dfrac{1}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$；

$\left(5\right)y=\sin \sqrt{x}$；

$\left(6\right)y=\tan \left(x+1\right)$；

$\left(7\right)y=arc\sin \left(x-3\right)$；

$\left(8\right)y=\sqrt{3-x}+arc\tan \dfrac{1}{x}$；

$\left(9\right)y=\ln \left(x+1\right)$；

$\left(10\right)y={e}^{\dfrac{1}{x}}$.

题目解答

答案

【答案】

【解析】

【答案】

(1)$[-\dfrac{2}{3},+\infty )$(2)$\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

(3)$\left[-1,0),\cup ,(0,1\right]$(4)$\left(-2,2\right)$(5)$[0,+\infty )$ (6)$\left(-\mathrm{\infty },k\pi +\dfrac{\pi }{2}-1\right)\cup \left(k\pi +\dfrac{\pi }{2}-1,+\mathrm{\infty }\right)$($k\in Z$)

(7)$\left[2,4\right]$(8)$\left(-\infty ,0\right]\cup \left(0,3\right]$(9)$\left(-1,+\infty \right)$(10)$\left(-\infty .0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

【解析】

(1)由$3x+2\geqslant 0$,得$x\geqslant -\dfrac{2}{3}$,故函数的定义域为:$[-\dfrac{2}{3},+\infty )$.

(2)由$1-{x}^{2}\ne 0$,得$x\ne \pm 1$,故函数的定义域为:$\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$.

(3)由$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1-{x}^{2}\geqslant 0\end{array}\right.$,得$-1\leqslant x\lt 0$或$0\lt x\leqslant 1$,故函数的定义域为:$\left[-1,0),\cup ,(0,1\right]$.

(4)由$4-{x}^{2}\gt 0$,得$-2\lt x\lt 2$,故函数的定义域为:$\left(-2,2\right)$.

(5)由$x\geqslant 0$,故函数的定义域为:$[0,+\infty )$. (6)由$x+1\ne k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}$($k\in Z$),得$x\ne k\mathrm{\pi }+\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}-1$($k\in Z$),故函数的定义域为:

$\left(-\mathrm{\infty },k\pi +\dfrac{\pi }{2}-1\right)\cup \left(k\pi +\dfrac{\pi }{2}-1,+\mathrm{\infty }\right)$($k\in Z$).

(7)由$\left|x-3\right|\leqslant 1$,得$2\leqslant x\leqslant 4$,故函数的定义域为:$\left[2,4\right]$.

(8)由$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 3-x\geqslant 0\end{array}\right.$,得$x\lt 0$或$0\lt x\leqslant 3$,故函数的定义域为:$\left(-\infty ,0\right]\cup \left(0,3\right]$.

(9)由$x+1\gt 0$,得$x\gt -1$,故函数的定义域为:$\left(-1,+\infty \right)$.

(10)由$x\ne 0$,故函数的定义域为:$\left(-\infty .0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$.

解析

自然定义域的求解核心在于分析函数各部分的限制条件，并求这些条件的交集。常见限制条件包括：

  1. 分母不为零；
  2. 偶次根号下的表达式非负；
  3. 对数函数的真数大于零；
  4. 正切函数的参数不等于$\frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in Z$）；
  5. 反正弦/反余弦函数的参数在$[-1,1]$范围内。

（1）$y=\sqrt{3x+2}$

限制条件：根号内非负
$3x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\dfrac{2}{3}$
定义域：$[-\dfrac{2}{3}, +\infty)$

（2）$y=\dfrac{1}{1-x^2}$

限制条件：分母不为零
$1 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$
定义域：$(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$

（3）$y=\dfrac{1}{x} - \sqrt{1-x^2}$

限制条件：

  1. 分母$x \neq 0$
  2. 根号内非负：$1 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1$
    联立解得：$-1 \leq x < 0$ 或 $0 < x \leq 1$
    定义域：$[-1, 0) \cup (0, 1]$

（4）$y=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

限制条件：

  1. 根号内正：$4 - x^2 > 0 \Rightarrow -2 < x < 2$
  2. 分母不为零（已包含在根号条件中）
    定义域：$(-2, 2)$

（5）$y=\sin \sqrt{x}$

限制条件：根号内非负
$x \geq 0$
定义域：$[0, +\infty)$

（6）$y=\tan(x+1)$

限制条件：$x + 1 \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in Z$）
解得：$x \neq \dfrac{\pi}{2} - 1 + k\pi$
定义域：$\bigcup_{k \in Z} \left( (-\infty, \dfrac{\pi}{2} - 1 + k\pi) \cup (\dfrac{\pi}{2} - 1 + k\pi, +\infty) \right)$

（7）$y=\arcsin(x-3)$

限制条件：$-1 \leq x - 3 \leq 1$
解得：$2 \leq x \leq 4$
定义域：$[2, 4]$

（8）$y=\sqrt{3-x} + \arctan \dfrac{1}{x}$

限制条件：

  1. 根号内非负：$3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$
  2. 分母$x \neq 0$
    联立解得：$x \leq 3$ 且 $x \neq 0$
    定义域：$(-\infty, 0) \cup (0, 3]$

（9）$y=\ln(x+1)$

限制条件：$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
定义域：$(-1, +\infty)$

（10）$y=e^{\dfrac{1}{x}}$

限制条件：分母$x \neq 0$
定义域：$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$